Номер 132, страница 84 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

132. На сторонах $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$ отметили точки $M$ и $N$ соответственно. Отрезки $AN$ и $CM$ пересекаются в точке $O$. В каком отношении точка $O$ делит отрезок $CM$, если $AM : MB = 5 : 3$ и $CN : NB = 9 : 16$?

132. На сторонах $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$ отметили точки $M$ и $N$ соответственно. Отрезки $AN$ и $CM$ пересекаются в точке $O$. В каком отношении точка $O$ делит отрезок $CM$, если $AM : MB = 5 : 3$ и $CN : NB = 9 : 16$?

Для решения данной задачи можно использовать несколько методов, например, теорему Менелая, метод векторов или метод масс. Воспользуемся методом масс как одним из наиболее наглядных.

1. Принцип метода масс. Разместим в вершинах треугольника $A$, $B$, $C$ такие массы $m_A, m_B, m_C$, чтобы точки $M$ и $N$ являлись центрами масс для соответствующих пар вершин. Точка пересечения отрезков $AN$ и $CM$ (чевиан) будет являться центром масс для всей системы из трех вершин.

2. Подбор масс.

Точка $M$ лежит на стороне $AB$. По условию $AM : MB = 5 : 3$. Чтобы точка $M$ была центром масс для вершин $A$ и $B$, массы в этих вершинах должны быть обратно пропорциональны расстояниям до точки $M$. То есть, должно выполняться равенство $m_A \cdot AM = m_B \cdot MB$. Отсюда находим отношение масс:

$\frac{m_A}{m_B} = \frac{MB}{AM} = \frac{3}{5}$

Точка $N$ лежит на стороне $BC$. По условию $CN : NB = 9 : 16$. Чтобы точка $N$ была центром масс для вершин $B$ и $C$, должно выполняться равенство $m_B \cdot NB = m_C \cdot CN$. Отсюда находим отношение масс:

$\frac{m_C}{m_B} = \frac{NB}{CN} = \frac{16}{9}$

Теперь необходимо подобрать такие массы $m_A, m_B, m_C$, которые удовлетворяли бы обоим полученным отношениям. Для этого удобно выбрать массу $m_B$ так, чтобы остальные массы выражались целыми числами. Возьмем $m_B$ равной произведению знаменателей в отношениях: $m_B = 5 \cdot 9 = 45$.

Тогда:

$m_A = \frac{3}{5} m_B = \frac{3}{5} \cdot 45 = 27$

$m_C = \frac{16}{9} m_B = \frac{16}{9} \cdot 45 = 16 \cdot 5 = 80$

Итак, мы разместили в вершинах следующие массы: $m_A = 27$ в точке $A$, $m_B = 45$ в точке $B$, и $m_C = 80$ в точке $C$.

3. Нахождение искомого отношения.

Точка $O$ является точкой пересечения отрезков $AN$ и $CM$, а значит, она является центром масс всей системы. Центр масс системы можно рассматривать как центр масс для двух точек: точки $C$ с массой $m_C$ и точки $M$, в которой сосредоточена суммарная масса вершин $A$ и $B$.

Суммарная масса в точке $M$ равна: $m_M = m_A + m_B = 27 + 45 = 72$.

Теперь точка $O$ — это центр масс для двух точек: $C$ (с массой $m_C = 80$) и $M$ (с массой $m_M = 72$). По свойству центра масс, точка $O$ делит отрезок $CM$ на части, обратно пропорциональные массам на его концах:

$\frac{CO}{OM} = \frac{m_M}{m_C}$

Подставляем найденные значения масс:

$\frac{CO}{OM} = \frac{72}{80} = \frac{8 \cdot 9}{8 \cdot 10} = \frac{9}{10}$

Таким образом, точка $O$ делит отрезок $CM$ в отношении $9:10$, считая от вершины $C$.

Ответ: 9:10.