Номер 127, страница 83 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

127. В равнобедренном треугольнике $ABC$ ($AB = BC$) точка пересечения медиан удалена от основания на 6 см. Найдите расстояние от середины боковой стороны треугольника $ABC$ до основания.

127. В равнобедренном треугольнике $ABC$ $(AB = BC)$ точка пересечения медиан удалена от основания на 6 см. Найдите расстояние от середины боковой стороны треугольника $ABC$ до основания.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$ и равными боковыми сторонами $AB$ и $BC$. Проведем медиану $BM$ из вершины $B$ к основанию $AC$. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является также и высотой. Следовательно, отрезок $BM$ перпендикулярен основанию $AC$ ($BM \perp AC$).

Точка пересечения медиан треугольника, назовем ее $O$, является его центроидом. Расстояние от этой точки до основания $AC$ — это длина перпендикуляра, опущенного из точки $O$ на прямую $AC$. Поскольку точка $O$ лежит на высоте $BM$, это расстояние равно длине отрезка $OM$.

По условию задачи, $OM = 6$ см.

Согласно свойству медиан, точка их пересечения делит каждую медиану в отношении $2:1$, считая от вершины. Для медианы $BM$ это означает, что $BO : OM = 2 : 1$.

Зная длину $OM$, мы можем найти длину отрезка $BO$:

$BO = 2 \cdot OM = 2 \cdot 6 = 12$ см.

Теперь мы можем найти полную длину медианы $BM$, которая также является высотой треугольника:

$BM = BO + OM = 12 + 6 = 18$ см.

Далее, нам нужно найти расстояние от середины боковой стороны до основания. Пусть точка $N$ — середина боковой стороны $BC$. Расстояние от точки $N$ до основания $AC$ — это длина перпендикуляра $NP$, проведенного из точки $N$ к прямой $AC$ (точка $P$ будет лежать на отрезке $MC$).

Рассмотрим треугольник $BCM$. В этом треугольнике отрезок $NP$ соединяет середину стороны $BC$ (точку $N$) со стороной $CM$. Так как $NP \perp AC$ и $BM \perp AC$, то отрезки $NP$ и $BM$ параллельны ($NP \parallel BM$).

По теореме о средней линии треугольника, если отрезок проходит через середину одной стороны треугольника параллельно другой стороне, то он является средней линией. Следовательно, $NP$ — средняя линия треугольника $BCM$.

Длина средней линии треугольника равна половине длины стороны, которой она параллельна. Таким образом:

$NP = \frac{1}{2} BM$

Подставим известное значение длины $BM$:

$NP = \frac{1}{2} \cdot 18 = 9$ см.

Ответ: 9 см.