Номер 122, страница 83 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

122. Большее основание трапеции равно 16 см. Диагонали трапеции пересекают её среднюю линию в точках $E$ и $F$. Найдите меньшее основание трапеции, если $EF=3$ см.

122. Большее основание трапеции равно 16 см. Диагонали трапеции пересекают её среднюю линию в точках E и F. Найдите меньшее основание трапеции, если $EF = 3$ см.

Пусть дана трапеция ABCD, где AD и BC — основания. Пусть AD — большее основание, а BC — меньшее. По условию, $AD = 16$ см.

Пусть KL — средняя линия трапеции, где K — середина боковой стороны AB, а L — середина боковой стороны CD. Диагонали AC и BD пересекают среднюю линию KL в точках E и F соответственно. По условию задачи, $EF = 3$ см.

Рассмотрим треугольник ABD. Отрезок KF является частью средней линии трапеции KL. Так как K — середина стороны AB и $KL \parallel AD$ (по свойству средней линии трапеции), то KF является средней линией треугольника ABD.

По свойству средней линии треугольника, ее длина равна половине длины основания, которому она параллельна. Следовательно:
$KF = \frac{1}{2} AD = \frac{16}{2} = 8$ см.

Аналогично рассмотрим треугольник ABC. Отрезок KE является частью средней линии трапеции KL. Так как K — середина стороны AB и $KL \parallel BC$, то KE является средней линией треугольника ABC.

Следовательно, ее длина равна половине длины основания BC:
$KE = \frac{1}{2} BC$.

Точки K, E, F лежат на одной прямой — средней линии трапеции. Поскольку AD > BC, то и $KF > KE$, значит точка E лежит между K и F. Длина отрезка EF может быть найдена как разность длин отрезков KF и KE:
$EF = KF - KE$.

Подставим известные значения и выражения в это уравнение:
$3 = 8 - \frac{1}{2} BC$.

Теперь решим полученное уравнение относительно BC:
$\frac{1}{2} BC = 8 - 3$
$\frac{1}{2} BC = 5$
$BC = 5 \cdot 2$
$BC = 10$ см.

Таким образом, меньшее основание трапеции равно 10 см.

Ответ: 10 см.