Номер 117, страница 82 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

117. Гипотенуза $AB$ равнобедренного прямоугольного треугольника $ABC$ равна 12 см. Точка $N$ — середина катета $AC$. Найдите расстояние от точки $N$ до прямой $AB$.

117. Гипотенуза $AB$ равнобедренного прямоугольного треугольника $ABC$ равна 12 см. Точка $N$ – середина катета $AC$. Найдите расстояние от точки $N$ до прямой $AB$.

Пусть $ABC$ — равнобедренный прямоугольный треугольник, где $\angle C = 90^\circ$. По условию, гипотенуза $AB = 12$ см. Так как треугольник равнобедренный, его катеты равны: $AC = BC$. Точка $N$ является серединой катета $AC$.

Требуется найти расстояние от точки $N$ до прямой $AB$. Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на данную прямую. Проведем перпендикуляр $NH$ из точки $N$ к прямой $AB$, где $H$ — точка на $AB$. Нам нужно найти длину отрезка $NH$.

Для решения задачи выполним дополнительное построение: проведем высоту $CD$ из вершины прямого угла $C$ к гипотенузе $AB$.

В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы. В нашем равнобедренном треугольнике $ABC$ высота $CD$, проведенная к основанию $AB$, является также и медианой. Следовательно, длина высоты $CD$ равна половине длины гипотенузы $AB$.

$CD = \frac{1}{2} AB = \frac{12}{2} = 6$ см.

Рассмотрим треугольник $ADC$. По построению, $NH \perp AB$ и $CD \perp AB$. Так как два отрезка перпендикулярны одной и той же прямой, они параллельны друг другу: $NH \parallel CD$.

По условию, точка $N$ — середина стороны $AC$. В треугольнике $ADC$ через середину стороны $AC$ (точку $N$) проведен отрезок $NH$, параллельный стороне $CD$. По теореме о средней линии треугольника, отрезок $NH$ является средней линией треугольника $ADC$.

Длина средней линии треугольника равна половине длины параллельной ей стороны. Таким образом:

$NH = \frac{1}{2} CD = \frac{6}{2} = 3$ см.

Ответ: 3 см.