Номер 113, страница 81 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

113. Начертите произвольный отрезок $CD$ и постройте на нём точку $E$ такую, что $CE : ED = 5 : 2$.

113. Начертите произвольный отрезок CD и постройте на нём точку E такую, что $CE : ED = 5 : 2$.

Для того чтобы на произвольном отрезке $CD$ построить точку $E$, которая делит его в отношении $CE : ED = 5 : 2$, необходимо выполнить построение с помощью циркуля и линейки, основываясь на теореме Фалеса.

Алгоритм построения:

1. Начертите произвольный отрезок $CD$.

2. Из точки $C$ проведите произвольный луч $l$, не лежащий на прямой $CD$.

3. С помощью циркуля отложите на луче $l$, начиная от точки $C$, $7$ ($5 + 2 = 7$) равных друг другу отрезков. Для этого выберите произвольный, но постоянный раствор циркуля. Обозначим полученные точки $P_1, P_2, \dots, P_7$ так, что $CP_1 = P_1P_2 = \dots = P_6P_7$.

4. Соедините последнюю точку $P_7$ на луче с точкой $D$ (другим концом исходного отрезка). Вы получите отрезок $P_7D$.

5. Через точку $P_5$ (пятую точку от начала луча, так как отношение начинается с числа 5) проведите прямую, параллельную отрезку $P_7D$.

6. Точка, в которой эта параллельная прямая пересечет отрезок $CD$, и будет искомой точкой $E$.

Обоснование:

Рассмотрим угол, образованный лучом $l$ и прямой $CD$. По нашему построению прямые $P_5E$ и $P_7D$ параллельны. Согласно обобщенной теореме Фалеса, если параллельные прямые пересекают стороны угла, то они отсекают на них пропорциональные отрезки. Таким образом, справедливо соотношение:

$\frac{CE}{ED} = \frac{CP_5}{P_5P_7}$

По построению, длина отрезка $CP_5$ состоит из 5 равных частей, а длина отрезка $P_5P_7$ — из 2 таких же частей ($P_5P_6+P_6P_7$). Следовательно:

$\frac{CP_5}{P_5P_7} = \frac{5}{2}$

Отсюда следует, что $\frac{CE}{ED} = \frac{5}{2}$, или $CE : ED = 5 : 2$. Построение выполнено верно.

Ответ: Искомая точка $E$, делящая отрезок $CD$ в отношении $CE:ED=5:2$, построена согласно приведённому выше алгоритму, основанному на теореме Фалеса.