Номер 108, страница 81 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

108. Можно ли вписать окружность в четырёхугольник ABCD, если:

1) $AB = 6$ см, $BC = 10$ см, $CD = 11$ см, $AD = 7$ см;

2) $AB = 10$ см, $BC = 14$ см, $CD = 16$ см, $AD = 11$ см?

108. Можно ли вписать окружность в четырёхугольник $ABCD$, если:

1) $AB = 6 \text{ см}, BC = 10 \text{ см}, CD = 11 \text{ см}, AD = 7 \text{ см};$

2) $AB = 10 \text{ см}, BC = 14 \text{ см}, CD = 16 \text{ см}, AD = 11 \text{ см}$?

Для того чтобы определить, можно ли вписать окружность в четырехугольник, необходимо воспользоваться свойством описанного четырехугольника (теоремой Пито). Согласно этой теореме, в выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин его противолежащих сторон равны.

Для четырехугольника ABCD это условие выглядит так:

$AB + CD = BC + AD$

Проверим выполнение этого условия для каждого из предложенных случаев.

1)

Имеем четырехугольник со сторонами $AB = 6$ см, $BC = 10$ см, $CD = 11$ см, $AD = 7$ см.

Найдем сумму длин противолежащих сторон $AB$ и $CD$:

$AB + CD = 6 + 11 = 17$ см.

Теперь найдем сумму длин противолежащих сторон $BC$ и $AD$:

$BC + AD = 10 + 7 = 17$ см.

Сравним полученные суммы: $17 = 17$. Поскольку суммы длин противолежащих сторон равны, в этот четырехугольник можно вписать окружность.

Ответ: да, можно.

2)

Имеем четырехугольник со сторонами $AB = 10$ см, $BC = 14$ см, $CD = 16$ см, $AD = 11$ см.

Найдем сумму длин противолежащих сторон $AB$ и $CD$:

$AB + CD = 10 + 16 = 26$ см.

Теперь найдем сумму длин противолежащих сторон $BC$ и $AD$:

$BC + AD = 14 + 11 = 25$ см.

Сравним полученные суммы: $26 \neq 25$. Поскольку суммы длин противолежащих сторон не равны, в этот четырехугольник нельзя вписать окружность.

Ответ: нет, нельзя.