Номер 111, страница 81 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

111. Точка касания окружности, вписанной в равнобокую трапецию, делит её боковую сторону на отрезки, один из которых равен 5 см. Найдите основания трапеции, если её периметр равен 56 см.

111. Точка касания окружности, вписанной в равнобокую трапецию, делит её боковую сторону на отрезки, один из которых равен 5 см. Найдите основания трапеции, если её периметр равен 56 см.

Пусть дана равнобокая трапеция $ABCD$, в которую вписана окружность. $AD$ и $BC$ — основания, $AB$ и $CD$ — боковые стороны. Так как трапеция равнобокая, то $AB = CD$.

В любой четырехугольник, в который можно вписать окружность (описанный четырехугольник), суммы длин противоположных сторон равны. Для трапеции $ABCD$ это свойство выглядит так:

$AD + BC = AB + CD$

Периметр трапеции $P$ равен 56 см. Периметр — это сумма длин всех сторон:

$P = AD + BC + AB + CD = 56$ см

Используя свойство описанного четырехугольника, мы можем заменить сумму боковых сторон на сумму оснований:

$P = (AD + BC) + (AD + BC) = 2(AD + BC) = 56$ см

Отсюда находим сумму оснований:

$AD + BC = \frac{56}{2} = 28$ см

Так как $AD + BC = AB + CD$, то и сумма боковых сторон также равна 28 см:

$AB + CD = 28$ см

Поскольку трапеция равнобокая ($AB = CD$), то $2 \cdot CD = 28$ см. Следовательно, длина каждой боковой стороны равна:

$CD = \frac{28}{2} = 14$ см

По условию, точка касания вписанной окружности делит боковую сторону на два отрезка, один из которых равен 5 см. Пусть точка $K$ — точка касания на стороне $CD$. Тогда $CD$ делится на отрезки $CK$ и $KD$. Если один из отрезков равен 5 см, то второй равен:

$14 \text{ см} - 5 \text{ см} = 9$ см

Таким образом, боковая сторона делится на отрезки длиной 5 см и 9 см.

По свойству касательных, проведенных к окружности из одной вершины, отрезки касательных от этой вершины до точек касания равны. Пусть окружность касается оснований $BC$ и $AD$ в точках $M$ и $L$ соответственно. Тогда:

$CK = CM$

$DK = DL$

В равнобокой трапеции точки касания на основаниях являются их серединами. Это означает, что $BC = 2 \cdot CM$ и $AD = 2 \cdot DL$.

Подставив предыдущие равенства, получаем:

$BC = 2 \cdot CK$

$AD = 2 \cdot DK$

Меньший из отрезков ($CK$ или $DK$) прилегает к меньшему основанию, а больший — к большему. Пусть $BC$ — меньшее основание, а $AD$ — большее. Тогда отрезок, прилегающий к вершине $C$ (на меньшем основании), равен 5 см, а отрезок, прилегающий к вершине $D$ (на большем основании), равен 9 см.

$CK = 5$ см

$DK = 9$ см

Теперь находим длины оснований:

Меньшее основание: $BC = 2 \cdot 5 = 10$ см

Большее основание: $AD = 2 \cdot 9 = 18$ см

Проверим: сумма оснований $10 + 18 = 28$ см, сумма боковых сторон $14 + 14 = 28$ см. Периметр $28 + 28 = 56$ см. Все условия задачи выполнены.

Ответ: основания трапеции равны 10 см и 18 см.