Номер 118, страница 82 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

118. В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = 12$ см, $AC = 14$ см. Через середину стороны $BC$ проведены прямые, параллельные сторонам $AB$ и $AC$. Найдите периметр образовавшегося четырёхугольника.

118. В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = 12$ см, $AC = 14$ см. Через середину стороны $BC$ проведены прямые, параллельные сторонам $AB$ и $AC$. Найдите периметр образовавшегося четырёхугольника.

Пусть в треугольнике $ABC$ даны стороны $AB = 12$ см и $AC = 14$ см. Обозначим середину стороны $BC$ как точку $M$.

Через точку $M$ проведем прямую, параллельную стороне $AB$. Пусть эта прямая пересекает сторону $AC$ в точке $N$. Также через точку $M$ проведем прямую, параллельную стороне $AC$. Пусть эта прямая пересекает сторону $AB$ в точке $K$. Таким образом, мы получили четырехугольник $AKMN$.

Рассмотрим свойства полученного четырехугольника $AKMN$:

• По построению, сторона $KM$ параллельна стороне $AC$ (и, следовательно, отрезку $AN$).
• По построению, сторона $MN$ параллельна стороне $AB$ (и, следовательно, отрезку $AK$).

Четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны, является параллелограммом. Значит, $AKMN$ — это параллелограмм.

Для нахождения периметра параллелограмма $AKMN$ необходимо найти длины его смежных сторон, например, $AK$ и $AN$.

Рассмотрим отрезок $KM$. Он проходит через середину стороны $BC$ (точку $M$) и параллелен стороне $AC$. По теореме о средней линии треугольника (а точнее, по следствию из теоремы Фалеса), если прямая проходит через середину одной стороны треугольника и параллельна другой стороне, то она делит третью сторону пополам. Следовательно, точка $K$ является серединой стороны $AB$. Таким образом, $AK = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} \times 12 = 6$ см.

Аналогично, рассмотрим отрезок $MN$. Он проходит через середину стороны $BC$ (точку $M$) и параллелен стороне $AB$. Следовательно, точка $N$ является серединой стороны $AC$. Таким образом, $AN = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2} \times 14 = 7$ см.

Периметр параллелограмма $AKMN$ вычисляется по формуле $P = 2(a+b)$, где $a$ и $b$ — длины смежных сторон. В нашем случае это $AK$ и $AN$.
$P_{AKMN} = 2 \times (AK + AN)$
$P_{AKMN} = 2 \times (6 + 7) = 2 \times 13 = 26$ см.

Стоит отметить, что периметр образовавшегося параллелограмма равен сумме длин двух сторон исходного треугольника:
$P_{AKMN} = 2 \times (AK + AN) = 2 \times (\frac{1}{2}AB + \frac{1}{2}AC) = AB + AC = 12 + 14 = 26$ см.

Ответ: 26 см.