Номер 120, страница 82 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

120. В окружности проведены хорды $AB$ и $AC$. Расстояние между точками $B$ и $C$ равно $16$ см. Найдите расстояние от середины хорды $AC$ до хорды $AB$, если $\angle CBA = 30^\circ$.

120. В окружности проведены хорды $AB$ и $AC$. Расстояние между точками $B$ и $C$ равно 16 см. Найдите расстояние от середины хорды $AC$ до хорды $AB$, если $\angle CBA = 30^{\circ}$.

Рассмотрим треугольник ABC, образованный хордами AB, AC и BC. По условию, сторона $BC = 16$ см, а угол $\angle CBA = 30^{\circ}$. Пусть M — середина хорды AC. Искомое расстояние от точки M до хорды AB — это длина перпендикуляра, опущенного из точки M на прямую, содержащую хорду AB. Обозначим основание этого перпендикуляра буквой H. Таким образом, нам нужно найти длину отрезка MH, где $MH \perp AB$.

Для решения задачи проведем дополнительное построение: из вершины C опустим высоту CK на прямую AB. Так как по построению $CK \perp AB$ и по определению расстояния $MH \perp AB$, то прямые MH и CK параллельны ($MH \parallel CK$).

Теперь рассмотрим треугольник ACK. Точка M является серединой стороны AC по условию. Прямая MH проходит через середину стороны AC и параллельна стороне CK. По теореме о средней линии треугольника, отрезок MH является средней линией треугольника ACK. Следовательно, его длина равна половине длины стороны CK:

$MH = \frac{1}{2} CK$

Чтобы найти MH, нам нужно вычислить длину высоты CK. Рассмотрим прямоугольный треугольник CKB ($\angle CKB = 90^{\circ}$). В этом треугольнике нам известна длина гипотенузы $BC = 16$ см и угол $\angle KBC = \angle CBA = 30^{\circ}$.

Катет CK лежит напротив угла в $30^{\circ}$. По свойству прямоугольного треугольника, катет, лежащий напротив угла в $30^{\circ}$, равен половине гипотенузы. Таким образом:

$CK = \frac{1}{2} \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 16 = 8$ см.

Теперь мы можем найти искомое расстояние MH:

$MH = \frac{1}{2} \cdot CK = \frac{1}{2} \cdot 8 = 4$ см.

Ответ: 4 см.