Номер 110, страница 81 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

110. Средняя линия трапеции равна 12 см, а периметр — 48 см. Докажите, что в данную трапецию можно вписать окружность.

110. Средняя линия трапеции равна 12 см, а периметр — 48 см. Докажите, что в данную трапецию можно вписать окружность.

Для того чтобы доказать, что в трапецию можно вписать окружность, необходимо воспользоваться свойством описанного четырёхугольника: окружность можно вписать в выпуклый четырехугольник тогда и только тогда, когда суммы длин его противолежащих сторон равны. Для трапеции это означает, что сумма её оснований должна быть равна сумме её боковых сторон.

Пусть `a` и `b` — основания трапеции, а `c` и `d` — её боковые стороны.

1. Найдём сумму оснований трапеции.Средняя линия трапеции `m` вычисляется по формуле: `$m = \frac{a+b}{2}$`.По условию `m = 12` см. Выразим из формулы сумму оснований:`$a+b = 2 \cdot m$``$a+b = 2 \cdot 12 = 24$` см.

2. Найдём сумму боковых сторон трапеции.Периметр трапеции `P` — это сумма длин всех её сторон: `$P = a+b+c+d$`.По условию `P = 48` см. Мы уже вычислили, что `$a+b = 24$` см. Подставим известные значения в формулу периметра:`$48 = 24 + c+d$`Выразим сумму боковых сторон:`$c+d = 48 - 24 = 24$` см.

3. Сравним суммы противолежащих сторон.Сумма оснований: `$a+b = 24$` см.Сумма боковых сторон: `$c+d = 24$` см.

Поскольку сумма оснований равна сумме боковых сторон (`$a+b = c+d$`), условие для вписанной окружности выполняется. Следовательно, в данную трапецию можно вписать окружность. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. В трапецию можно вписать окружность, так как сумма её оснований (24 см) равна сумме её боковых сторон (24 см).