Номер 128, страница 83 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

128. Отрезок $AD$ — биссектриса треугольника $ABC$. Найдите:

1) отрезки $BD$ и $CD$, если $AB = 10$ см, $AC = 12$ см, $BC = 11$ см;

2) сторону $AC$, если $BD : DC = 4 : 9$, $AB = 16$ см;

3) стороны $AB$ и $AC$, если $AB + AC = 32$ см, $BD : DC = 5 : 3$.

128. Отрезок $AD$ — биссектриса треугольника $ABC$. Найдите:

1) отрезки $BD$ и $CD$, если $AB = 10$ см, $AC = 12$ см, $BC = 11$ см;

2) сторону $AC$, если $BD : DC = 4 : 9$, $AB = 16$ см;

3) стороны $AB$ и $AC$, если $AB + AC = 32$ см, $BD : DC = 5 : 3$.

Во всех пунктах задачи используется свойство биссектрисы треугольника. Биссектриса угла треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. Для треугольника $ABC$ и его биссектрисы $AD$ это свойство выражается формулой:

$ \frac{AB}{AC} = \frac{BD}{CD} $

1) отрезки BD и CD, если AB = 10 см, AC = 12 см, BC = 11 см;

Пусть длина отрезка $BD$ равна $x$ см. Поскольку $BC = BD + CD$, то длина отрезка $CD$ будет равна $(11 - x)$ см.

Применим свойство биссектрисы и подставим известные значения:

$ \frac{AB}{AC} = \frac{BD}{CD} $

$ \frac{10}{12} = \frac{x}{11-x} $

Сократим дробь в левой части уравнения:

$ \frac{5}{6} = \frac{x}{11-x} $

Используя основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних), решим уравнение:

$ 5 \cdot (11-x) = 6 \cdot x $

$ 55 - 5x = 6x $

$ 55 = 11x $

$ x = \frac{55}{11} = 5 $

Следовательно, длина отрезка $BD = 5$ см.

Теперь найдем длину отрезка $CD$:

$ CD = 11 - x = 11 - 5 = 6 $ см.

Ответ: $BD = 5$ см, $CD = 6$ см.

2) сторону AC, если BD : DC = 4 : 9, AB = 16 см;

Воспользуемся свойством биссектрисы треугольника:

$ \frac{AB}{AC} = \frac{BD}{CD} $

Из условия известно, что $BD : DC = 4 : 9$, что означает $ \frac{BD}{CD} = \frac{4}{9} $. Подставим известные значения в формулу:

$ \frac{16}{AC} = \frac{4}{9} $

Выразим $AC$ из данной пропорции:

$ AC = \frac{16 \cdot 9}{4} $

$ AC = 4 \cdot 9 = 36 $

Ответ: $AC = 36$ см.

3) стороны AB и AC, если AB + AC = 32 см, BD : DC = 5 : 3.

Снова применим свойство биссектрисы треугольника:

$ \frac{AB}{AC} = \frac{BD}{CD} $

Подставим в формулу известное из условия соотношение отрезков:

$ \frac{AB}{AC} = \frac{5}{3} $

Из этого соотношения мы можем выразить одну сторону через другую, например, $AB = \frac{5}{3} AC$.

Нам также дано, что $AB + AC = 32$. Подставим выражение для $AB$ в это уравнение:

$ \frac{5}{3} AC + AC = 32 $

Приведем к общему знаменателю:

$ (\frac{5}{3} + \frac{3}{3}) AC = 32 $

$ \frac{8}{3} AC = 32 $

Найдем $AC$:

$ AC = 32 \cdot \frac{3}{8} = 4 \cdot 3 = 12 $

Таким образом, длина стороны $AC = 12$ см.

Теперь найдем длину стороны $AB$:

$ AB = 32 - AC = 32 - 12 = 20 $

Ответ: $AB = 20$ см, $AC = 12$ см.