Номер 131, страница 84 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

131. На медиане $AD$ треугольника $ABC$ отметили точку $K$ так, что $AK : KD = 7 : 6$. В каком отношении прямая $BK$ делит сторону $AC$?

131. На медиане $AD$ треугольника $ABC$ отметили точку $K$ так, что $AK : KD = 7 : 6$. В каком отношении прямая $BK$ делит сторону $AC$?

Для решения этой задачи можно воспользоваться несколькими подходами. Рассмотрим два наиболее популярных метода.

Пусть прямая $BK$ пересекает сторону $AC$ в точке $M$. Нам нужно найти отношение $AM : MC$.

Проведем через точку $D$ прямую, параллельную прямой $BK$, до пересечения со стороной $AC$ в точке $P$. Таким образом, $DP \parallel BM$.

Рассмотрим $\triangle ADC$. Так как $K$ лежит на $AD$ и $M$ лежит на $AC$, а также $KM \parallel DP$, то по теореме о пропорциональных отрезках (или из подобия треугольников $\triangle AKM$ и $\triangle ADP$) следует:

$\frac{AK}{AD} = \frac{AM}{AP}$

По условию дано, что $AK : KD = 7 : 6$. Примем длину отрезка $AK$ за $7x$, тогда длина $KD$ будет $6x$. Длина всей медианы $AD$ равна $AK + KD = 7x + 6x = 13x$.

Найдем отношение $\frac{AK}{AD}$:

$\frac{AK}{AD} = \frac{7x}{13x} = \frac{7}{13}$

Следовательно, $\frac{AM}{AP} = \frac{7}{13}$.

Теперь рассмотрим $\triangle CBM$. Отрезок $DP$ параллелен стороне $BM$ и выходит из точки $D$, которая является серединой стороны $BC$ (поскольку $AD$ — медиана). По теореме Фалеса, если параллельные прямые ($DP$ и $BM$) пересекают стороны угла ($ \angle MCB$), и на одной стороне угла отсекают равные отрезки ($CD = DB$), то и на другой стороне они отсекают равные отрезки. Значит, $CP = PM$.

Таким образом, точка $P$ является серединой отрезка $CM$, и $CM = 2 \cdot PM$.

Из соотношения $\frac{AM}{AP} = \frac{7}{13}$ выразим $AP$ через $AM$: $13 \cdot AM = 7 \cdot AP$.

Поскольку $AP = AM + PM$, подставим это в уравнение:

$13 \cdot AM = 7 \cdot (AM + PM)$

$13 \cdot AM = 7 \cdot AM + 7 \cdot PM$

$6 \cdot AM = 7 \cdot PM$

Теперь заменим $PM$ на $\frac{1}{2} CM$:

$6 \cdot AM = 7 \cdot \left(\frac{1}{2} CM\right)$

$12 \cdot AM = 7 \cdot CM$

Отсюда получаем искомое отношение:

$\frac{AM}{CM} = \frac{7}{12}$

Ответ: $7:12$

Пусть прямая $BK$ пересекает сторону $AC$ в точке $M$.

Рассмотрим треугольник $ADC$ и секущую $BKM$. Точки $M$, $K$ и $B$ лежат на одной прямой. Эта прямая пересекает стороны $AC$ и $AD$ в точках $M$ и $K$ соответственно, а также продолжение стороны $CD$ в точке $B$.

По теореме Менелая для $\triangle ADC$ и секущей $BKM$ справедливо соотношение:

$\frac{AM}{MC} \cdot \frac{CB}{BD} \cdot \frac{DK}{KA} = 1$

Определим значения отношений, входящих в формулу:

1. Так как $AD$ — медиана, точка $D$ является серединой стороны $BC$. Это означает, что $BD = DC$. Длина всей стороны $CB$ равна $CD + DB = 2 \cdot BD$. Следовательно, отношение $\frac{CB}{BD} = \frac{2 \cdot BD}{BD} = 2$.

2. По условию $AK : KD = 7 : 6$. Следовательно, обратное отношение $\frac{DK}{KA} = \frac{6}{7}$.

Подставим найденные значения в уравнение теоремы Менелая:

$\frac{AM}{MC} \cdot 2 \cdot \frac{6}{7} = 1$

$\frac{AM}{MC} \cdot \frac{12}{7} = 1$

Из этого уравнения выразим искомое отношение $\frac{AM}{MC}$:

$\frac{AM}{MC} = \frac{7}{12}$

Таким образом, прямая $BK$ делит сторону $AC$ в отношении $7:12$, считая от вершины $A$.

Ответ: $7:12$