Страница 91 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

185. В равнобедренном треугольнике $ABC$ ($AB = AC$) проведена высота $CH$. Известно, что $AH = 5$ см, $BH = 15$ см. Найдите основание $BC$ треугольника. Сколько решений имеет задача?

185. В равнобедренном треугольнике $ABC$ ($AB = AC$) проведена высота $CH$. Известно, что $AH = 5$ см, $BH = 15$ см.Найдите основание $BC$ треугольника. Сколько решений имеет задача?

Задача имеет два решения в зависимости от расположения точки H (основания высоты) на прямой, содержащей сторону AB. Точка H может лежать на отрезке AB (если угол A острый) или на продолжении отрезка AB за точку A (если угол A тупой).

Случай 1. Точка H лежит на стороне AB.

В этом случае длина боковой стороны AB равна сумме длин отрезков AH и BH:

$AB = AH + BH = 5 + 15 = 20$ см.

Так как треугольник ABC равнобедренный и $AB = AC$, то $AC = 20$ см.

Высота CH образует два прямоугольных треугольника: AHC и BHC.

В прямоугольном треугольнике AHC по теореме Пифагора найдем квадрат высоты CH:

$CH^2 = AC^2 - AH^2 = 20^2 - 5^2 = 400 - 25 = 375$.

В прямоугольном треугольнике BHC по теореме Пифагора найдем основание BC:

$BC^2 = BH^2 + CH^2 = 15^2 + 375 = 225 + 375 = 600$.

$BC = \sqrt{600} = \sqrt{100 \cdot 6} = 10\sqrt{6}$ см.

Ответ: $10\sqrt{6}$ см.

Случай 2. Точка H лежит на продолжении стороны AB за точку A.

В этом случае угол A треугольника ABC — тупой. Длина боковой стороны AB равна разности длин отрезков BH и AH:

$AB = BH - AH = 15 - 5 = 10$ см.

Так как треугольник ABC равнобедренный и $AB = AC$, то $AC = 10$ см.

В прямоугольном треугольнике AHC по теореме Пифагора найдем квадрат высоты CH:

$CH^2 = AC^2 - AH^2 = 10^2 - 5^2 = 100 - 25 = 75$.

В прямоугольном треугольнике BHC по теореме Пифагора найдем основание BC:

$BC^2 = BH^2 + CH^2 = 15^2 + 75 = 225 + 75 = 300$.

$BC = \sqrt{300} = \sqrt{100 \cdot 3} = 10\sqrt{3}$ см.

Ответ: $10\sqrt{3}$ см.

Таким образом, задача имеет два решения.

186. Из точки к прямой проведены две наклонные. Одна из них образует с прямой угол $45^\circ$, а её проекция на эту прямую равна $11\sqrt{2}$ см. Найдите длину второй наклонной, если её проекция на эту прямую равна $\sqrt{82}$ см.

186. Из точки к прямой проведены две наклонные. Одна из них образует с прямой угол $45^{\circ}$, а её проекция на эту прямую равна $11\sqrt{2}$ см. Найдите длину второй наклонной, если её проекция на эту прямую равна $\sqrt{82}$ см.

Пусть из точки $A$ к прямой $l$ проведен перпендикуляр $AH$ и две наклонные $AB$ и $AC$. Тогда $HB$ и $HC$ — это проекции наклонных $AB$ и $AC$ на прямую $l$ соответственно. Перпендикуляр $AH$ является общим катетом для двух прямоугольных треугольников: $\triangle AHB$ и $\triangle AHC$.

Рассмотрим первую наклонную, пусть это будет $AB$. По условию, она образует с прямой $l$ угол $45^\circ$, то есть $\angle ABH = 45^\circ$. Длина ее проекции $HB = 11\sqrt{2}$ см.

Треугольник $\triangle AHB$ является прямоугольным, так как $AH$ — перпендикуляр ($\angle AHB = 90^\circ$). Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому второй острый угол $\angle HAB = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$.

Поскольку углы при основании $AB$ равны ($\angle ABH = \angle HAB = 45^\circ$), треугольник $\triangle AHB$ является равнобедренным. Следовательно, его катеты равны: $AH = HB$.

Таким образом, мы нашли длину перпендикуляра, проведенного из точки $A$ к прямой $l$:

$AH = 11\sqrt{2}$ см.

Теперь рассмотрим вторую наклонную, $AC$. Ее проекция на прямую $l$ по условию равна $HC = \sqrt{82}$ см. Нам нужно найти длину самой наклонной $AC$.

В прямоугольном треугольнике $\triangle AHC$ нам известны длины двух катетов:

• $AH = 11\sqrt{2}$ см
• $HC = \sqrt{82}$ см

По теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: $AC^2 = AH^2 + HC^2$.

Подставим известные значения:

$AC^2 = (11\sqrt{2})^2 + (\sqrt{82})^2$

$AC^2 = 121 \cdot 2 + 82$

$AC^2 = 242 + 82$

$AC^2 = 324$

Чтобы найти длину наклонной $AC$, извлечем квадратный корень:

$AC = \sqrt{324} = 18$ см.

Ответ: 18 см.

187. Из точки к прямой проведены две наклонные, проекции которых на эту прямую равны 3 см и 7 см. Найдите расстояние от точки до данной прямой, если сумма наклонных равна 28 см.

187. Из точки к прямой проведены две наклонные, проекции которых на эту прямую равны 3 см и 7 см. Найдите расстояние от точки до данной прямой, если сумма наклонных равна 28 см.

Пусть $h$ — искомое расстояние от точки до прямой, то есть длина перпендикуляра, опущенного из точки на прямую. Пусть $d_1$ и $d_2$ — длины двух наклонных, а $p_1 = 3$ см и $p_2 = 7$ см — длины их проекций на эту прямую.

По условию задачи, сумма длин наклонных равна 28 см:$d_1 + d_2 = 28$ см.

Каждая наклонная, её проекция и перпендикуляр $h$ образуют прямоугольный треугольник, где наклонная является гипотенузой, а перпендикуляр и проекция — катетами. Применим теорему Пифагора для двух таких треугольников:

1) $d_1^2 = h^2 + p_1^2 \implies d_1^2 = h^2 + 3^2 = h^2 + 9$

2) $d_2^2 = h^2 + p_2^2 \implies d_2^2 = h^2 + 7^2 = h^2 + 49$

Вычтем первое уравнение из второго:$d_2^2 - d_1^2 = (h^2 + 49) - (h^2 + 9)$$d_2^2 - d_1^2 = 40$

Используем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:$(d_2 - d_1)(d_2 + d_1) = 40$

Подставим известное значение суммы наклонных $d_1 + d_2 = 28$:$(d_2 - d_1) \cdot 28 = 40$$d_2 - d_1 = \frac{40}{28} = \frac{10}{7}$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя переменными $d_1$ и $d_2$:
$d_2 + d_1 = 28$
$d_2 - d_1 = \frac{10}{7}$

Сложим эти два уравнения, чтобы найти $d_2$:$2d_2 = 28 + \frac{10}{7} = \frac{196 + 10}{7} = \frac{206}{7}$$d_2 = \frac{103}{7}$ см.

Теперь подставим значение $d_2$ в одно из уравнений, чтобы найти $d_1$:$d_1 = 28 - d_2 = 28 - \frac{103}{7} = \frac{196 - 103}{7} = \frac{93}{7}$ см.

Зная длины наклонных, мы можем найти $h$ из любого уравнения Пифагора. Возьмем первое:$d_1^2 = h^2 + 9$$(\frac{93}{7})^2 = h^2 + 9$$\frac{8649}{49} = h^2 + 9$$h^2 = \frac{8649}{49} - 9 = \frac{8649 - 9 \cdot 49}{49} = \frac{8649 - 441}{49} = \frac{8208}{49}$

Теперь найдем $h$, извлекая квадратный корень:$h = \sqrt{\frac{8208}{49}} = \frac{\sqrt{8208}}{7}$

Упростим корень из 8208, разложив число на множители: $8208 = 144 \cdot 57$.$\sqrt{8208} = \sqrt{144 \cdot 57} = \sqrt{144} \cdot \sqrt{57} = 12\sqrt{57}$

Таким образом, искомое расстояние равно:$h = \frac{12\sqrt{57}}{7}$ см.

Ответ: $\frac{12\sqrt{57}}{7}$ см.

188. В равнобокую трапецию вписана окружность. Найдите радиус этой окружности, если сумма оснований трапеции равна 50 см, а разность оснований — 14 см.

188. В равнобокую трапецию вписана окружность. Найдите радиус этой окружности, если сумма оснований трапеции равна 50 см, а разность оснований — 14 см.

Пусть основания равнобокой трапеции равны $a$ и $b$ ($a > b$), а боковая сторона равна $c$.Согласно условию, сумма оснований $a + b = 50$ см, а их разность $a - b = 14$ см.

Решим систему из двух уравнений:
$\begin{cases} a + b = 50 \\ a - b = 14 \end{cases}$
Сложив эти два уравнения, получим:
$2a = 64$
$a = 32$ см.
Подставим значение $a$ в первое уравнение, чтобы найти $b$:
$32 + b = 50$
$b = 50 - 32 = 18$ см.
Итак, основания трапеции равны 32 см и 18 см.

Так как в трапецию вписана окружность, то суммы ее противолежащих сторон равны. Для равнобокой трапеции это означает, что сумма оснований равна сумме боковых сторон:
$a + b = c + c = 2c$
$50 = 2c$
$c = 25$ см.

Высота трапеции $h$ является диаметром вписанной окружности ($h = 2r$), где $r$ — искомый радиус. Чтобы найти высоту, проведем ее из вершины меньшего основания к большему. В результате образуется прямоугольный треугольник, гипотенузой которого является боковая сторона $c$, одним катетом — высота $h$, а вторым катетом — отрезок, равный полуразности оснований.
Длина второго катета равна:
$\frac{a-b}{2} = \frac{32-18}{2} = \frac{14}{2} = 7$ см.

По теореме Пифагора найдем высоту $h$:
$h^2 + \left(\frac{a-b}{2}\right)^2 = c^2$
$h^2 + 7^2 = 25^2$
$h^2 + 49 = 625$
$h^2 = 625 - 49 = 576$
$h = \sqrt{576} = 24$ см.

Радиус вписанной окружности равен половине высоты трапеции:
$r = \frac{h}{2} = \frac{24}{2} = 12$ см.

Ответ: 12 см.

189. Две окружности, радиусы которых равны 2 см и 8 см, имеют одну общую точку $M$ (рис. 114). Прямая $a$ касается этих окружностей в точках $C$ и $D$. Найдите отрезок $CD$.

Рис. 114

189. Две окружности, радиусы которых равны 2 см и 8 см, имеют одну общую точку $M$ (рис. 114). Прямая $a$ касается этих окружностей в точках $C$ и $D$. Найдите отрезок $CD$.

Рис. 114

Пусть $O_1$ и $O_2$ — центры данных окружностей, а $r_1$ и $r_2$ — их радиусы. По условию, $r_1 = 2$ см и $r_2 = 8$ см. Окружности имеют одну общую точку $M$, следовательно, они касаются друг друга. Из рисунка видно, что касание внешнее. В этом случае расстояние между центрами окружностей равно сумме их радиусов:

$O_1O_2 = r_1 + r_2 = 2 + 8 = 10$ см.

Проведем радиусы $O_1C$ и $O_2D$ в точки касания с прямой $a$. По свойству касательной, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Таким образом, $O_1C \perp CD$ и $O_2D \perp CD$.

Поскольку прямые $O_1C$ и $O_2D$ перпендикулярны одной и той же прямой $CD$, они параллельны друг другу: $O_1C \parallel O_2D$. Следовательно, четырехугольник $CO_1O_2D$ является прямоугольной трапецией с основаниями $O_1C$ и $O_2D$ и прямыми углами при вершинах $C$ и $D$.

Проведем из точки $O_1$ высоту $O_1K$ на основание $O_2D$. То есть, опустим перпендикуляр из $O_1$ на $O_2D$. Четырехугольник $CO_1KD$ является прямоугольником, так как все его углы прямые. Из этого следует, что противолежащие стороны равны:

$CD = O_1K$

$DK = O_1C = r_1 = 2$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle O_1KO_2$ (угол $K$ прямой по построению). Найдем длины его сторон:

• Гипотенуза $O_1O_2 = 10$ см.
• Катет $O_2K = O_2D - DK = r_2 - r_1 = 8 - 2 = 6$ см.
• Катет $O_1K$ — это искомая длина отрезка $CD$.

По теореме Пифагора для треугольника $\triangle O_1KO_2$:

$O_1O_2^2 = O_1K^2 + O_2K^2$

Подставим известные значения:

$10^2 = O_1K^2 + 6^2$

$100 = O_1K^2 + 36$

$O_1K^2 = 100 - 36 = 64$

$O_1K = \sqrt{64} = 8$ см.

Так как $CD = O_1K$, то $CD = 8$ см.

Ответ: 8 см.

190. Точки $A$ и $B$ лежат в разных полуплоскостях относительно прямой $m$. Из этих точек к прямой $m$ проведены перпендикуляры $AC$ и $BD$. Найдите отрезок $CD$, если $AC = 3$ см, $BD = 9$ см, $AB = 15$ см.

190. Точки $A$ и $B$ лежат в разных полуплоскостях относительно прямой $m$. Из этих точек к прямой $m$ проведены перпендикуляры $AC$ и $BD$. Найдите отрезок $CD$, если $AC = 3$ см, $BD = 9$ см, $AB = 15$ см.

По условию задачи, точки А и В лежат в разных полуплоскостях относительно прямой m. Из этих точек к прямой m проведены перпендикуляры AC и BD. Это означает, что $AC \perp m$ и $BD \perp m$. Поскольку два отрезка, перпендикулярные одной и той же прямой, параллельны между собой, то $AC \parallel BD$. Следовательно, фигура ACDB является прямоугольной трапецией с основаниями AC, BD и высотой CD.

Для решения задачи выполним дополнительное построение. Проведем из точки A отрезок AE, параллельный CD, до пересечения с прямой, содержащей отрезок BD, в точке E.

Рассмотрим четырехугольник ACDE. В нем стороны AC и ED параллельны (так как обе перпендикулярны CD), а стороны CD и AE параллельны по построению. Угол $\angle ACD = 90^\circ$ по условию. Следовательно, ACDE является прямоугольником. Из свойств прямоугольника следует, что противолежащие стороны равны: $AE = CD$ и $ED = AC = 3$ см.

Теперь рассмотрим треугольник ABE. Так как $AE \parallel CD$ и $BD \perp CD$, то $AE \perp BE$, а значит, треугольник ABE — прямоугольный с прямым углом $\angle AEB$. Гипотенуза AB по условию равна 15 см. Катет AE равен искомому отрезку CD.

Поскольку точки A и B лежат в разных полуплоскостях от прямой m, то длина катета BE будет равна сумме длин отрезков BD и ED.$BE = BD + ED = BD + AC = 9 \text{ см} + 3 \text{ см} = 12 \text{ см}$.

Применим теорему Пифагора для прямоугольного треугольника ABE:$AB^2 = AE^2 + BE^2$

Подставим известные значения и найдем длину катета AE:$15^2 = AE^2 + 12^2$$225 = AE^2 + 144$$AE^2 = 225 - 144$$AE^2 = 81$$AE = \sqrt{81} = 9$ см.

Так как $AE = CD$, то длина отрезка CD равна 9 см.

Ответ: 9 см.