Страница 94 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

208. В равнобокой трапеции ABCD основание AD равно 10 см, боковая сторона CD – $3\sqrt{2}$ см, а угол между боковой стороной и основанием AD равен $45^{\circ}$. Найдите диагональ трапеции.

208. В равнобокой трапеции $ABCD$ основание $AD$ равно 10 см, боковая сторона $CD = 3\sqrt{2}$ см, а угол между боковой стороной и основанием $AD$ равен $45^\circ$. Найдите диагональ трапеции.

Пусть дана равнобокая трапеция ABCD, где AD и BC — основания. По условию задачи, большее основание $AD = 10$ см, боковая сторона $CD = 3\sqrt{2}$ см, а угол между боковой стороной CD и основанием AD, то есть $\angle ADC$, равен $45°$. Необходимо найти длину диагонали трапеции. В равнобокой трапеции диагонали равны ($AC = BD$), поэтому достаточно найти длину одной из них, например, AC.

Для нахождения длины диагонали AC опустим из вершины C высоту CH на основание AD. Мы получим прямоугольный треугольник CHD.

В прямоугольном треугольнике CHD нам известна гипотенуза $CD = 3\sqrt{2}$ см и острый угол $\angle D = 45°$. Мы можем найти длины катетов CH (высота трапеции) и HD.
$CH = CD \cdot \sin(\angle D) = 3\sqrt{2} \cdot \sin(45°) = 3\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{3 \cdot 2}{2} = 3$ см.
$HD = CD \cdot \cos(\angle D) = 3\sqrt{2} \cdot \cos(45°) = 3\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{3 \cdot 2}{2} = 3$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник ACH. Диагональ трапеции AC является его гипотенузой. Длина катета CH нам известна ($CH=3$ см). Длину катета AH можно найти как разность длины основания AD и отрезка HD:
$AH = AD - HD = 10 - 3 = 7$ см.

Применим теорему Пифагора для треугольника ACH, чтобы найти длину гипотенузы AC:
$AC^2 = AH^2 + CH^2$
$AC^2 = 7^2 + 3^2 = 49 + 9 = 58$
$AC = \sqrt{58}$ см.

Ответ: $\sqrt{58}$ см.

209. В прямоугольном треугольнике ABC (рис. 116) $\angle C = 90^{\circ}$, $AB = b$, $\angle BAC = \beta$, $\angle FBC = \alpha$. Найдите отрезок $AF$.

Рис. 116

209. В прямоугольном треугольнике $ABC$ (рис. 116) $\angle C=90^{\circ}$, $AB=b$, $\angle BAC=\beta$, $\angle FBC=\alpha$. Найдите отрезок $AF$.

Для решения задачи выполним следующие шаги:

1. В прямоугольном треугольнике $ABC$ выразим катеты $AC$ и $BC$ через гипотенузу $AB = b$ и угол $\angle BAC = \beta$.

Из определения косинуса и синуса в прямоугольном треугольнике:

$\cos(\beta) = \frac{AC}{AB} \implies AC = AB \cdot \cos(\beta) = b \cos(\beta)$

$\sin(\beta) = \frac{BC}{AB} \implies BC = AB \cdot \sin(\beta) = b \sin(\beta)$

2. Теперь рассмотрим второй прямоугольный треугольник $FBC$ ($\angle C = 90^\circ$). В нем известен катет $BC$ и угол $\angle FBC = \alpha$. Найдем катет $FC$.

Из определения тангенса в прямоугольном треугольнике:

$\tg(\alpha) = \frac{FC}{BC} \implies FC = BC \cdot \tg(\alpha)$

Подставим выражение для $BC$, найденное на первом шаге:

$FC = (b \sin(\beta)) \cdot \tg(\alpha) = b \sin(\beta) \tg(\alpha)$

3. Отрезок $AF$, который нам нужно найти, является разностью длин отрезков $AC$ и $FC$, так как точка $F$ лежит на отрезке $AC$.

$AF = AC - FC$

Подставим выражения для $AC$ и $FC$:

$AF = b \cos(\beta) - b \sin(\beta) \tg(\alpha)$

4. Упростим полученное выражение. Вынесем $b$ за скобки и заменим тангенс отношением синуса к косинусу ($\tg(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$):

$AF = b (\cos(\beta) - \sin(\beta) \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)})$

Приведем выражение в скобках к общему знаменателю:

$AF = b (\frac{\cos(\beta)\cos(\alpha) - \sin(\beta)\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)})$

В числителе дроби мы получили формулу косинуса суммы двух углов: $\cos(x+y) = \cos(x)\cos(y) - \sin(x)\sin(y)$.

Применив эту формулу, получаем окончательный ответ:

$AF = b \frac{\cos(\beta + \alpha)}{\cos(\alpha)}$

Ответ: $AF = \frac{b \cos(\alpha + \beta)}{\cos(\alpha)}$

210. В трапеции ABCD (рис. 117) $AD = 14 \text{ см}$, $DC = 2\sqrt{6} \text{ см}$, $\angle A = 30^{\circ}$, $\angle D = 135^{\circ}$. Найдите основание $BC$ трапеции.

Рис. 117

210. В трапеции $ABCD$ (рис. 117) $AD = 14$ см, $DC = 2\sqrt{6}$ см, $\angle A = 30^\circ$, $\angle D = 135^\circ$. Найдите основание $BC$ трапеции.

Рис. 117

Для решения задачи опустим из вершин B и C высоты на прямую, содержащую основание AD. Обозначим основания высот как H и K соответственно. Таким образом, $BH \perp AD$ и $CK \perp AD$. Высота трапеции равна $h = BH = CK$.

1. Рассмотрим треугольник CKD.

Поскольку угол $\angle D = 135^{\circ}$ (тупой), основание высоты K, опущенной из вершины C, будет лежать на продолжении основания AD за точку D. В этом случае угол $\angle KDC$ будет смежным с углом $\angle ADC$.

$\angle KDC = 180^{\circ} - \angle ADC = 180^{\circ} - 135^{\circ} = 45^{\circ}$.

Треугольник $CKD$ является прямоугольным ($\angle CKD = 90^{\circ}$). Найдем высоту трапеции $CK$ и длину отрезка $KD$:

$CK = h = DC \cdot \sin(\angle KDC) = 2\sqrt{6} \cdot \sin(45^{\circ}) = 2\sqrt{6} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$ см.

Поскольку $\triangle CKD$ — прямоугольный с углом $45^{\circ}$, он равнобедренный, следовательно, $KD = CK = 2\sqrt{3}$ см.

2. Рассмотрим треугольник ABH.

Поскольку угол $\angle A = 30^{\circ}$ (острый), основание высоты H, опущенной из вершины B, будет лежать на самом основании AD. Треугольник $ABH$ является прямоугольным ($\angle AHB = 90^{\circ}$) с высотой $BH = h = 2\sqrt{3}$ см.

Найдем длину отрезка $AH$:

$AH = \frac{BH}{\tan(\angle A)} = \frac{2\sqrt{3}}{\tan(30^{\circ})} = \frac{2\sqrt{3}}{1/\sqrt{3}} = 2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 6$ см.

3. Найдем основание BC.

Так как $BC \parallel AD$ и $BH \perp AD$, $CK \perp AD$, четырехугольник $BCKH$ является прямоугольником. Отсюда следует, что $BC = HK$.

Длину отрезка $HK$ можно выразить через длины отрезков на прямой $AK$: $HK = AK - AH$.

В свою очередь, $AK = AD + DK$.

Объединив выражения, получаем: $BC = (AD + DK) - AH$.

Подставим известные значения:

$BC = (14 + 2\sqrt{3}) - 6 = 8 + 2\sqrt{3}$ см.

Ответ: $8 + 2\sqrt{3}$ см.

211. Найдите сумму углов выпуклого одиннадцатиугольника.

211. Найдите сумму углов выпуклого одиннадцатиугольника.

Для нахождения суммы внутренних углов выпуклого многоугольника используется формула: $S = (n - 2) \cdot 180^\circ$, где $n$ — это количество сторон (и углов) многоугольника.

В данной задаче речь идет о выпуклом одиннадцатиугольнике, следовательно, количество его сторон $n = 11$.

Подставим значение $n$ в формулу и выполним вычисления:$S = (11 - 2) \cdot 180^\circ = 9 \cdot 180^\circ = 1620^\circ$.

Ответ: $1620^\circ$.

212. Существует ли выпуклый многоугольник, сумма углов которого равна:

1) $1260^\circ$

2) $1780^\circ$

212. Существует ли выпуклый многоугольник, сумма углов которого равна:

1) $1260^{\circ}$;

2) $1780^{\circ}$?

Сумма углов выпуклого n-угольника вычисляется по формуле $S = (n-2) \cdot 180°$, где $n$ — количество сторон (и углов) многоугольника. Для того чтобы многоугольник существовал, число $n$ должно быть целым и большим или равным 3 ($n \ge 3$).

Из формулы можно выразить количество сторон $n$: $n-2 = \frac{S}{180°}$, откуда $n = \frac{S}{180°} + 2$.

Проверим, будет ли $n$ целым числом, большим или равным 3, для каждого из предложенных случаев.

1)

Пусть сумма углов $S = 1260°$. Найдем соответствующее число сторон $n$:

$n = \frac{1260°}{180°} + 2$

$n = 7 + 2$

$n = 9$

Мы получили целое число $n = 9$. Так как $9 \ge 3$, то выпуклый многоугольник с такой суммой углов существует. Это девятиугольник.

Ответ: да, существует.

2)

Пусть сумма углов $S = 1780°$. Найдем соответствующее число сторон $n$:

$n = \frac{1780°}{180°} + 2$

$n = \frac{178}{18} + 2 = \frac{89}{9} + 2$

Число $\frac{89}{9}$ не является целым ($89 \div 9 = 9$ с остатком $8$). Следовательно, значение $n = 9\frac{8}{9} + 2 = 11\frac{8}{9}$ не является целым числом. Поскольку количество сторон у многоугольника не может быть дробным, такой многоугольник не существует.

Ответ: нет, не существует.

213. Может ли наименьший угол выпуклого семиугольника быть равным $130^\circ$?

213. Может ли наименьший угол выпуклого семиугольника быть равным $130^\circ$?

Для ответа на этот вопрос нужно выполнить несколько шагов.

1. Найти сумму внутренних углов выпуклого семиугольника.
Сумма внутренних углов выпуклого n-угольника вычисляется по формуле:$S_n = (n-2) \cdot 180^\circ$
Для семиугольника $n=7$. Подставим это значение в формулу:$S_7 = (7-2) \cdot 180^\circ = 5 \cdot 180^\circ = 900^\circ$
Таким образом, сумма всех семи углов выпуклого семиугольника всегда равна $900^\circ$.

2. Проверить предположение.
Предположим, что наименьший угол выпуклого семиугольника равен $130^\circ$.Это означает, что каждый из семи углов этого многоугольника должен быть больше или равен $130^\circ$.
$\alpha_i \ge 130^\circ$ для $i = 1, 2, ..., 7$.

3. Оценить сумму углов при данном предположении.
Если каждый из семи углов не меньше $130^\circ$, то их сумма будет не меньше, чем $7 \cdot 130^\circ$.
$S_{min} = 7 \cdot 130^\circ = 910^\circ$
Получается, что если бы наименьший угол был равен $130^\circ$, то сумма всех углов была бы не меньше $910^\circ$.

4. Сделать вывод.
Мы получили противоречие: с одной стороны, сумма углов выпуклого семиугольника строго равна $900^\circ$, а с другой стороны, при нашем предположении она должна быть не менее $910^\circ$. Так как $910^\circ > 900^\circ$, наше предположение неверно.

Ответ: Нет, наименьший угол выпуклого семиугольника не может быть равным $130^\circ$.

214. Сколько диагоналей можно провести в десятиугольнике?

214. Сколько диагоналей можно провести в десятиугольнике?

Для того чтобы найти количество диагоналей в многоугольнике, можно использовать специальную формулу. Диагональ — это отрезок, соединяющий две любые несоседние вершины многоугольника.

Рассмотрим многоугольник с $n$ вершинами. В случае десятиугольника $n=10$.

Из каждой вершины можно провести диагональ ко всем другим вершинам, кроме самой этой вершины и двух соседних с ней (так как отрезки к соседним вершинам являются сторонами многоугольника). Таким образом, из каждой вершины выходит $n-3$ диагонали.

В десятиугольнике ($n=10$) из каждой вершины можно провести $10 - 3 = 7$ диагоналей.

Если мы умножим количество вершин ($n$) на количество диагоналей, выходящих из одной вершины ($n-3$), то получим $n(n-3)$. Однако при таком подсчете каждая диагональ будет учтена дважды (например, диагональ, соединяющая вершину A и B, будет посчитана как выходящая из A, и как выходящая из B). Поэтому результат нужно разделить на 2.

Общая формула для нахождения числа диагоналей ($D$) в $n$-угольнике:

$D = \frac{n(n-3)}{2}$

Подставим в эту формулу значение для десятиугольника, где $n=10$:

$D = \frac{10 \cdot (10-3)}{2} = \frac{10 \cdot 7}{2} = \frac{70}{2} = 35$

Следовательно, в десятиугольнике можно провести 35 диагоналей.

Ответ: 35.

215. В выпуклом многоугольнике сумма углов равна $2700^{\circ}$. Найдите количество его сторон и диагоналей.

215. В выпуклом многоугольнике сумма углов равна $2700^\circ$.

Найдите количество его сторон и диагоналей.

Задача состоит из двух частей: сначала нужно найти количество сторон многоугольника, а затем, зная количество сторон, найти количество его диагоналей.

Количество сторон

Сумма внутренних углов выпуклого n-угольника вычисляется по формуле:

$S = (n - 2) \times 180°$

где $n$ — это количество сторон (и углов) многоугольника.

По условию задачи, сумма углов $S$ равна $2700°$. Подставим это значение в формулу и решим уравнение относительно $n$:

$(n - 2) \times 180 = 2700$

Чтобы найти $n - 2$, разделим обе части уравнения на 180:

$n - 2 = \frac{2700}{180}$

$n - 2 = \frac{270}{18}$

$n - 2 = 15$

Теперь найдем $n$, прибавив 2 к обеим частям уравнения:

$n = 15 + 2$

$n = 17$

Таким образом, многоугольник имеет 17 сторон.

Ответ: 17 сторон.

Количество диагоналей

Количество диагоналей $d$ выпуклого n-угольника можно найти по формуле:

$d = \frac{n(n - 3)}{2}$

Мы уже определили, что количество сторон $n = 17$. Подставим это значение в формулу для нахождения количества диагоналей:

$d = \frac{17 \times (17 - 3)}{2}$

$d = \frac{17 \times 14}{2}$

Сократим 14 и 2:

$d = 17 \times 7$

$d = 119$

Следовательно, в данном многоугольнике 119 диагоналей.

Ответ: 119 диагоналей.

216. В выпуклом многоугольнике 27 диагоналей. Найдите количество его сторон и сумму углов.

216. В выпуклом многоугольнике 27 диагоналей. Найдите количество его сторон и сумму углов.

Количество его сторон

Число диагоналей $d$ выпуклого многоугольника, имеющего $n$ сторон, вычисляется по формуле: $d = \frac{n(n-3)}{2}$.

По условию задачи, $d = 27$. Подставим это значение в формулу, чтобы найти количество сторон $n$:

$27 = \frac{n(n-3)}{2}$

Умножим обе части уравнения на 2:

$54 = n(n-3)$

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду:

$n^2 - 3n - 54 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 3, а их произведение равно -54. Этим условиям удовлетворяют числа 9 и -6. Таким образом, корни уравнения: $n_1 = 9$ и $n_2 = -6$.

Поскольку число сторон многоугольника $n$ должно быть целым положительным числом (и $n \ge 3$), корень $n = -6$ не является решением задачи. Следовательно, у многоугольника 9 сторон.

Ответ: 9 сторон.

Сумма углов

Сумма внутренних углов $S$ выпуклого $n$-угольника определяется по формуле: $S = (n - 2) \cdot 180^\circ$.

Зная, что количество сторон многоугольника $n = 9$, подставим это значение в формулу:

$S = (9 - 2) \cdot 180^\circ = 7 \cdot 180^\circ = 1260^\circ$

Таким образом, сумма углов данного многоугольника составляет $1260^\circ$.

Ответ: $1260^\circ$.

217. Все стороны девятиугольника, вписанного в окружность, равны. Найдите его углы.

217. Все стороны девятиугольника, вписанного в окружность, равны. Найдите его углы.

Поскольку девятиугольник вписан в окружность и все его стороны равны, то этот многоугольник является правильным. У правильного многоугольника равны не только все стороны, но и все внутренние углы. Для нахождения величины внутреннего угла правильного n-угольника существует несколько способов.

Способ 1: Использование формулы суммы углов многоугольника

Сумма внутренних углов выпуклого n-угольника вычисляется по формуле:

$S_n = (n-2) \cdot 180^\circ$

Для девятиугольника $n=9$, поэтому сумма его внутренних углов равна:

$S_9 = (9-2) \cdot 180^\circ = 7 \cdot 180^\circ = 1260^\circ$

Так как девятиугольник правильный, все его 9 углов равны. Чтобы найти величину одного угла, нужно разделить общую сумму на количество углов:

$α = \frac{S_9}{9} = \frac{1260^\circ}{9} = 140^\circ$

Способ 2: Использование свойства вписанного многоугольника

Так как правильный девятиугольник вписан в окружность, его вершины делят окружность на 9 равных дуг. Градусная мера всей окружности составляет $360^\circ$. Следовательно, каждая из 9 дуг имеет меру:

$\frac{360^\circ}{9} = 40^\circ$

Каждый угол девятиугольника является вписанным углом, который опирается на дугу, состоящую из $9-2=7$ таких меньших дуг. Величина этой большой дуги равна:

$7 \cdot 40^\circ = 280^\circ$

Величина вписанного угла равна половине дуги, на которую он опирается. Таким образом, каждый угол девятиугольника равен:

$α = \frac{280^\circ}{2} = 140^\circ$

Ответ: все углы девятиугольника равны $140^\circ$.

218. Все углы пятиугольника, описанного около окружности, равны, а его периметр равен 60 см. Найдите стороны пятиугольника.

218. Все углы пятиугольника, описанного около окружности, равны, а его периметр равен 60 см. Найдите стороны пятиугольника.

Поскольку все углы пятиугольника равны, он является равноугольным. Сумма внутренних углов любого выпуклого n-угольника вычисляется по формуле $S_n = (n-2) \cdot 180^\circ$.

Для пятиугольника, где $n=5$, сумма углов равна:

$S_5 = (5-2) \cdot 180^\circ = 3 \cdot 180^\circ = 540^\circ$

Так как все пять углов равны, то каждый угол равен:

$\alpha = \frac{540^\circ}{5} = 108^\circ$

Пятиугольник описан около окружности. Существует свойство, согласно которому, если равноугольный многоугольник описан около окружности, то он является правильным. Это означает, что у него равны не только все углы, но и все стороны.

Таким образом, данный пятиугольник является правильным, и все его 5 сторон равны между собой. Обозначим длину стороны как $a$.

Периметр $P$ многоугольника — это сумма длин всех его сторон. Для правильного пятиугольника формула периметра выглядит так:

$P = a + a + a + a + a = 5a$

По условию задачи, периметр равен 60 см. Мы можем составить уравнение:

$5a = 60$

Решим это уравнение, чтобы найти длину стороны $a$:

$a = \frac{60}{5}$

$a = 12$ см

Так как пятиугольник правильный, все его стороны равны 12 см.

Ответ: стороны пятиугольника равны 12 см.