Номер 208, страница 94 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

208. В равнобокой трапеции ABCD основание AD равно 10 см, боковая сторона CD – $3\sqrt{2}$ см, а угол между боковой стороной и основанием AD равен $45^{\circ}$. Найдите диагональ трапеции.

208. В равнобокой трапеции $ABCD$ основание $AD$ равно 10 см, боковая сторона $CD = 3\sqrt{2}$ см, а угол между боковой стороной и основанием $AD$ равен $45^\circ$. Найдите диагональ трапеции.

Пусть дана равнобокая трапеция ABCD, где AD и BC — основания. По условию задачи, большее основание $AD = 10$ см, боковая сторона $CD = 3\sqrt{2}$ см, а угол между боковой стороной CD и основанием AD, то есть $\angle ADC$, равен $45°$. Необходимо найти длину диагонали трапеции. В равнобокой трапеции диагонали равны ($AC = BD$), поэтому достаточно найти длину одной из них, например, AC.

Для нахождения длины диагонали AC опустим из вершины C высоту CH на основание AD. Мы получим прямоугольный треугольник CHD.

В прямоугольном треугольнике CHD нам известна гипотенуза $CD = 3\sqrt{2}$ см и острый угол $\angle D = 45°$. Мы можем найти длины катетов CH (высота трапеции) и HD.
$CH = CD \cdot \sin(\angle D) = 3\sqrt{2} \cdot \sin(45°) = 3\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{3 \cdot 2}{2} = 3$ см.
$HD = CD \cdot \cos(\angle D) = 3\sqrt{2} \cdot \cos(45°) = 3\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{3 \cdot 2}{2} = 3$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник ACH. Диагональ трапеции AC является его гипотенузой. Длина катета CH нам известна ($CH=3$ см). Длину катета AH можно найти как разность длины основания AD и отрезка HD:
$AH = AD - HD = 10 - 3 = 7$ см.

Применим теорему Пифагора для треугольника ACH, чтобы найти длину гипотенузы AC:
$AC^2 = AH^2 + CH^2$
$AC^2 = 7^2 + 3^2 = 49 + 9 = 58$
$AC = \sqrt{58}$ см.

Ответ: $\sqrt{58}$ см.