Номер 207, страница 93 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

207. Используя данные рисунка 115, найдите отрезки AB и BC.

Рис. 115

a
A
B
C
D
$a$
$\beta$
$\alpha$

б
A
B
C
D
$\alpha$
$a$
$\beta$

207. Используя данные рисунка 115, найдите отрезки $AB$ и $BC$.

Рис. 115

а

б

а

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ADC$, в котором $\angle D = 90^\circ$. Катет $AD$ равен $a$, а противолежащий ему угол $\angle ACD$ равен $\alpha$. Гипотенуза $AC$ является общей для треугольников $\triangle ADC$ и $\triangle ABC$.

Из $\triangle ADC$ найдем гипотенузу $AC$ через синус угла $\alpha$:

$\sin(\alpha) = \frac{AD}{AC}$

Отсюда:

$AC = \frac{AD}{\sin(\alpha)} = \frac{a}{\sin(\alpha)}$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABC$, в котором $\angle B = 90^\circ$. В этом треугольнике нам известна гипотенуза $AC$ и угол $\angle ACB = \beta$.

Найдем катет $AB$, который противолежит углу $\beta$. Используем определение синуса:

$\sin(\beta) = \frac{AB}{AC}$

$AB = AC \cdot \sin(\beta)$

Подставим найденное значение $AC$:

$AB = \frac{a}{\sin(\alpha)} \cdot \sin(\beta) = \frac{a \sin(\beta)}{\sin(\alpha)}$

Найдем катет $BC$, который прилежит к углу $\beta$. Используем определение косинуса:

$\cos(\beta) = \frac{BC}{AC}$

$BC = AC \cdot \cos(\beta)$

Подставим найденное значение $AC$:

$BC = \frac{a}{\sin(\alpha)} \cdot \cos(\beta) = \frac{a \cos(\beta)}{\sin(\alpha)}$

Ответ: $AB = \frac{a \sin(\beta)}{\sin(\alpha)}$, $BC = \frac{a \cos(\beta)}{\sin(\alpha)}$.

б

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ACD$, в котором $\angle C = 90^\circ$. В нем известна гипотенуза $AD = a$ и угол $\angle CAD = \alpha$. Катет $AC$ является общей стороной для треугольников $\triangle ACD$ и $\triangle ABC$.

Из $\triangle ACD$ найдем катет $AC$, который прилежит к углу $\alpha$. Используем определение косинуса:

$\cos(\alpha) = \frac{AC}{AD}$

Отсюда:

$AC = AD \cdot \cos(\alpha) = a \cos(\alpha)$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABC$, в котором $\angle B = 90^\circ$. В этом треугольнике $AC$ является гипотенузой, и нам известен угол $\angle BCA = \beta$.

Найдем катет $AB$, который противолежит углу $\beta$. Используем определение синуса:

$\sin(\beta) = \frac{AB}{AC}$

$AB = AC \cdot \sin(\beta)$

Подставим найденное значение $AC$:

$AB = a \cos(\alpha) \sin(\beta)$

Найдем катет $BC$, который прилежит к углу $\beta$. Используем определение косинуса:

$\cos(\beta) = \frac{BC}{AC}$

$BC = AC \cdot \cos(\beta)$

Подставим найденное значение $AC$:

$BC = a \cos(\alpha) \cos(\beta)$

Ответ: $AB = a \cos(\alpha) \sin(\beta)$, $BC = a \cos(\alpha) \cos(\beta)$.