Номер 201, страница 93 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Решение прямоугольных треугольников. Вариант 3. Упражнения - номер 201, страница 93.

Условие 2017.

201. Решите прямоугольный треугольник $ABC$ ($\angle C = 90^\circ$) по известным элементам:

1) $AB = 8$ см, $\angle A = 44^\circ$;

2) $AC = 12$ см, $\angle A = 57^\circ$;

3) $AB = 14$ см, $AC = 8$ см;

4) $AC = 14$ см, $BC = 8$ см.

Условие 2021.

201. Решите прямоугольный треугольник ABC ($\angle C = 90^\circ$) по известным элементам:

1) $AB = 8 \text{ см}, \angle A = 44^\circ$;

2) $AC = 12 \text{ см}, \angle A = 57^\circ$;

3) $AB = 14 \text{ см}, AC = 8 \text{ см}$;

4) $AC = 14 \text{ см}, BC = 8 \text{ см}$.

Решение 2021.

Решение задачи основано на использовании тригонометрических соотношений в прямоугольном треугольнике $ABC$ (где $\angle C = 90°$) и теоремы Пифагора.

• Сумма острых углов: $\angle A + \angle B = 90°$
• Теорема Пифагора: $AC^2 + BC^2 = AB^2$
• Определения тригонометрических функций:
  • $\sin(\angle A) = \frac{BC}{AB}$
  • $\cos(\angle A) = \frac{AC}{AB}$
  • $\tan(\angle A) = \frac{BC}{AC}$

1) Дано: $AB = 8$ см, $\angle A = 44°$.

Найдём неизвестные элементы треугольника:

1. Угол $\angle B$:

$\angle B = 90° - \angle A = 90° - 44° = 46°$.

2. Катет $BC$ (противолежащий углу $A$):

$BC = AB \cdot \sin(\angle A) = 8 \cdot \sin(44°) \approx 8 \cdot 0.6947 \approx 5.56$ см.

3. Катет $AC$ (прилежащий к углу $A$):

$AC = AB \cdot \cos(\angle A) = 8 \cdot \cos(44°) \approx 8 \cdot 0.7193 \approx 5.75$ см.

Ответ: $\angle B = 46°$, $BC \approx 5.56$ см, $AC \approx 5.75$ см.

2) Дано: $AC = 12$ см, $\angle A = 57°$.

Найдём неизвестные элементы треугольника:

1. Угол $\angle B$:

$\angle B = 90° - \angle A = 90° - 57° = 33°$.

2. Катет $BC$ (противолежащий углу $A$):

$BC = AC \cdot \tan(\angle A) = 12 \cdot \tan(57°) \approx 12 \cdot 1.5399 \approx 18.48$ см.

3. Гипотенуза $AB$:

$AB = \frac{AC}{\cos(\angle A)} = \frac{12}{\cos(57°)} \approx \frac{12}{0.5446} \approx 22.03$ см.

Ответ: $\angle B = 33°$, $BC \approx 18.48$ см, $AB \approx 22.03$ см.

3) Дано: $AB = 14$ см, $AC = 8$ см.

Найдём неизвестные элементы треугольника:

1. Катет $BC$ по теореме Пифагора:

$BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{14^2 - 8^2} = \sqrt{196 - 64} = \sqrt{132} = 2\sqrt{33} \approx 11.49$ см.

2. Угол $\angle A$:

$\cos(\angle A) = \frac{AC}{AB} = \frac{8}{14} = \frac{4}{7}$.

$\angle A = \arccos(\frac{4}{7}) \approx 55.15° \approx 55°9'$.

3. Угол $\angle B$:

$\angle B = 90° - \angle A \approx 90° - 55°9' = 34°51'$.

Ответ: $BC = 2\sqrt{33}$ см $\approx 11.49$ см, $\angle A \approx 55°9'$, $\angle B \approx 34°51'$.

4) Дано: $AC = 14$ см, $BC = 8$ см.

Найдём неизвестные элементы треугольника:

1. Гипотенуза $AB$ по теореме Пифагора:

$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{14^2 + 8^2} = \sqrt{196 + 64} = \sqrt{260} = 2\sqrt{65} \approx 16.12$ см.

2. Угол $\angle A$:

$\tan(\angle A) = \frac{BC}{AC} = \frac{8}{14} = \frac{4}{7}$.

$\angle A = \arctan(\frac{4}{7}) \approx 29.74° \approx 29°45'$.

3. Угол $\angle B$:

$\angle B = 90° - \angle A \approx 90° - 29°45' = 60°15'$.

Ответ: $AB = 2\sqrt{65}$ см $\approx 16.12$ см, $\angle A \approx 29°45'$, $\angle B \approx 60°15'$.