Страница 93 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

201. Решите прямоугольный треугольник $ABC$ ($\angle C = 90^\circ$) по известным элементам:

1) $AB = 8$ см, $\angle A = 44^\circ$;

2) $AC = 12$ см, $\angle A = 57^\circ$;

3) $AB = 14$ см, $AC = 8$ см;

4) $AC = 14$ см, $BC = 8$ см.

201. Решите прямоугольный треугольник ABC ($\angle C = 90^\circ$) по известным элементам:

1) $AB = 8 \text{ см}, \angle A = 44^\circ$;

2) $AC = 12 \text{ см}, \angle A = 57^\circ$;

3) $AB = 14 \text{ см}, AC = 8 \text{ см}$;

4) $AC = 14 \text{ см}, BC = 8 \text{ см}$.

Решение задачи основано на использовании тригонометрических соотношений в прямоугольном треугольнике $ABC$ (где $\angle C = 90°$) и теоремы Пифагора.

• Сумма острых углов: $\angle A + \angle B = 90°$
• Теорема Пифагора: $AC^2 + BC^2 = AB^2$
• Определения тригонометрических функций:
  • $\sin(\angle A) = \frac{BC}{AB}$
  • $\cos(\angle A) = \frac{AC}{AB}$
  • $\tan(\angle A) = \frac{BC}{AC}$

1) Дано: $AB = 8$ см, $\angle A = 44°$.

Найдём неизвестные элементы треугольника:

1. Угол $\angle B$:

$\angle B = 90° - \angle A = 90° - 44° = 46°$.

2. Катет $BC$ (противолежащий углу $A$):

$BC = AB \cdot \sin(\angle A) = 8 \cdot \sin(44°) \approx 8 \cdot 0.6947 \approx 5.56$ см.

3. Катет $AC$ (прилежащий к углу $A$):

$AC = AB \cdot \cos(\angle A) = 8 \cdot \cos(44°) \approx 8 \cdot 0.7193 \approx 5.75$ см.

Ответ: $\angle B = 46°$, $BC \approx 5.56$ см, $AC \approx 5.75$ см.

2) Дано: $AC = 12$ см, $\angle A = 57°$.

Найдём неизвестные элементы треугольника:

1. Угол $\angle B$:

$\angle B = 90° - \angle A = 90° - 57° = 33°$.

2. Катет $BC$ (противолежащий углу $A$):

$BC = AC \cdot \tan(\angle A) = 12 \cdot \tan(57°) \approx 12 \cdot 1.5399 \approx 18.48$ см.

3. Гипотенуза $AB$:

$AB = \frac{AC}{\cos(\angle A)} = \frac{12}{\cos(57°)} \approx \frac{12}{0.5446} \approx 22.03$ см.

Ответ: $\angle B = 33°$, $BC \approx 18.48$ см, $AB \approx 22.03$ см.

3) Дано: $AB = 14$ см, $AC = 8$ см.

Найдём неизвестные элементы треугольника:

1. Катет $BC$ по теореме Пифагора:

$BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{14^2 - 8^2} = \sqrt{196 - 64} = \sqrt{132} = 2\sqrt{33} \approx 11.49$ см.

2. Угол $\angle A$:

$\cos(\angle A) = \frac{AC}{AB} = \frac{8}{14} = \frac{4}{7}$.

$\angle A = \arccos(\frac{4}{7}) \approx 55.15° \approx 55°9'$.

3. Угол $\angle B$:

$\angle B = 90° - \angle A \approx 90° - 55°9' = 34°51'$.

Ответ: $BC = 2\sqrt{33}$ см $\approx 11.49$ см, $\angle A \approx 55°9'$, $\angle B \approx 34°51'$.

4) Дано: $AC = 14$ см, $BC = 8$ см.

Найдём неизвестные элементы треугольника:

1. Гипотенуза $AB$ по теореме Пифагора:

$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{14^2 + 8^2} = \sqrt{196 + 64} = \sqrt{260} = 2\sqrt{65} \approx 16.12$ см.

2. Угол $\angle A$:

$\tan(\angle A) = \frac{BC}{AC} = \frac{8}{14} = \frac{4}{7}$.

$\angle A = \arctan(\frac{4}{7}) \approx 29.74° \approx 29°45'$.

3. Угол $\angle B$:

$\angle B = 90° - \angle A \approx 90° - 29°45' = 60°15'$.

Ответ: $AB = 2\sqrt{65}$ см $\approx 16.12$ см, $\angle A \approx 29°45'$, $\angle B \approx 60°15'$.

202. В равнобедренном треугольнике $ABC$ известно, что $AB = BC = 10$ см, $\angle B = 64^\circ$. Найдите сторону $AC$ и высоту $BD$ треугольника.

202. В равнобедренном треугольнике $ABC$ известно, что $AB = BC = 10$ см, $\angle B = 64^{\circ}$. Найдите сторону $AC$ и высоту $BD$ треугольника.

По условию, в равнобедренном треугольнике $ABC$ боковые стороны $AB = BC = 10$ см, а угол при вершине $\angle B = 64^\circ$. $BD$ — высота, проведенная к основанию $AC$.

В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой и биссектрисой. Это означает, что:

• $BD$ делит основание $AC$ на два равных отрезка: $AD = DC$. Следовательно, $AC = 2 \cdot AD$.
• $BD$ делит угол $\angle B$ пополам: $\angle ABD = \angle CBD = \frac{\angle B}{2}$.
• $BD$ перпендикулярна $AC$, поэтому треугольники $ABD$ и $CBD$ являются прямоугольными.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABD$ (где $\angle D = 90^\circ$).

Найдем угол $\angle ABD$:

$\angle ABD = \frac{64^\circ}{2} = 32^\circ$.

Гипотенуза в этом треугольнике — это сторона $AB = 10$ см. Катетами являются $AD$ и $BD$.

сторону AC

Чтобы найти сторону $AC$, сначала найдем длину отрезка $AD$. В прямоугольном треугольнике $ABD$ катет $AD$ является противолежащим углу $\angle ABD$. Используем синус:

$\sin(\angle ABD) = \frac{AD}{AB}$

Отсюда выразим $AD$:

$AD = AB \cdot \sin(\angle ABD) = 10 \cdot \sin(32^\circ)$ см.

Так как $AC = 2 \cdot AD$, получаем:

$AC = 2 \cdot 10 \cdot \sin(32^\circ) = 20 \sin(32^\circ)$ см.

Ответ: $AC = 20 \sin(32^\circ)$ см.

высоту BD

В том же прямоугольном треугольнике $ABD$ катет $BD$ является прилежащим к углу $\angle ABD$. Используем косинус:

$\cos(\angle ABD) = \frac{BD}{AB}$

Отсюда выразим $BD$:

$BD = AB \cdot \cos(\angle ABD) = 10 \cdot \cos(32^\circ)$ см.

Ответ: $BD = 10 \cos(32^\circ)$ см.

203. Из точки, находящейся на расстоянии 16 см от прямой, проведены две наклонные, образующие с этой прямой углы $30^\circ$ и $60^\circ$. Найдите длины наклонных.

203. Из точки, находящейся на расстоянии 16 см от прямой, проведены две наклонные, образующие с этой прямой углы $30^\circ$ и $60^\circ$. Найдите длины наклонных.

Пусть из точки A, находящейся на расстоянии 16 см от прямой l, опущен перпендикуляр AH на эту прямую. По определению, длина этого перпендикуляра и есть расстояние от точки до прямой, следовательно, $AH = 16$ см.

Из точки A к прямой l проведены две наклонные, которые мы обозначим как AB и AC. Эти наклонные образуют с перпендикуляром AH и своими проекциями BH и CH на прямую l два прямоугольных треугольника: ΔAHB и ΔAHC.

Согласно условию, углы, которые наклонные образуют с прямой l, равны 30° и 60°. Пусть $∠ABH = 30°$ и $∠ACH = 60°$. В обоих прямоугольных треугольниках катет AH, противолежащий этим углам, равен 16 см. Длины наклонных AB и AC являются гипотенузами этих треугольников.

Найдем длину первой наклонной (AB)

Рассмотрим прямоугольный треугольник ΔAHB. Синус угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к гипотенузе.

$ \sin(∠ABH) = \frac{AH}{AB} $

Подставим известные значения:

$ \sin(30°) = \frac{16}{AB} $

Зная, что $ \sin(30°) = \frac{1}{2} $, получим:

$ \frac{1}{2} = \frac{16}{AB} $

Отсюда находим длину наклонной AB:

$ AB = 16 \cdot 2 = 32 $ см.

Найдем длину второй наклонной (AC)

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник ΔAHC.

$ \sin(∠ACH) = \frac{AH}{AC} $

Подставим известные значения:

$ \sin(60°) = \frac{16}{AC} $

Зная, что $ \sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2} $, получим:

$ \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{16}{AC} $

Отсюда находим длину наклонной AC:

$ AC = \frac{16 \cdot 2}{\sqrt{3}} = \frac{32}{\sqrt{3}} $ см.

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель дроби на $ \sqrt{3} $:

$ AC = \frac{32 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{32\sqrt{3}}{3} $ см.

Ответ: длины наклонных равны 32 см и $ \frac{32\sqrt{3}}{3} $ см.

204. Из точки, находящейся на расстоянии 20 см от прямой, проведены две наклонные, образующие с прямой углы $60^\circ$ и $45^\circ$. Найдите расстояние между основаниями наклонных. Сколько решений имеет задача?

204. Из точки, находящейся на расстоянии 20 см от прямой, проведены две наклонные, образующие с прямой углы $60^\circ$ и $45^\circ$. Найдите расстояние между основаниями наклонных. Сколько решений имеет задача?

Пусть из точки A, не лежащей на прямой l, опущен перпендикуляр AH на эту прямую. По условию, расстояние от точки до прямой равно 20 см, следовательно, длина перпендикуляра $AH = 20$ см.

Из точки A к прямой l проведены две наклонные, AB и AC, которые образуют с прямой углы $ \angle ABH = 60^\circ $ и $ \angle ACH = 45^\circ $. Точки B и C являются основаниями наклонных, а отрезки BH и CH — проекциями этих наклонных на прямую l. Для нахождения расстояния BC необходимо сначала найти длины этих проекций.

Рассмотрим два прямоугольных треугольника ΔAHB и ΔAHC, в которых катет AH является общим.

• В прямоугольном треугольнике ΔAHB ( $ \angle AHB = 90^\circ $ ), катет BH равен:
  $ \text{ctg}(\angle ABH) = \frac{BH}{AH} \implies BH = AH \cdot \text{ctg}(60^\circ) = 20 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{20\sqrt{3}}{3} $ см.
• В прямоугольном треугольнике ΔAHC ( $ \angle AHC = 90^\circ $ ), катет CH равен:
  $ \text{ctg}(\angle ACH) = \frac{CH}{AH} \implies CH = AH \cdot \text{ctg}(45^\circ) = 20 \cdot 1 = 20 $ см.

Расстояние между основаниями наклонных (длина отрезка BC) зависит от их взаимного расположения относительно основания перпендикуляра H. Существует два возможных случая.

Найдите расстояние между основаниями наклонных.

Случай 1: Основания наклонных лежат по разные стороны от основания перпендикуляра.
В этом случае искомое расстояние BC равно сумме длин проекций BH и CH.
$ BC = BH + CH = \frac{20\sqrt{3}}{3} + 20 = 20 \left( 1 + \frac{\sqrt{3}}{3} \right) $ см.

Случай 2: Основания наклонных лежат по одну сторону от основания перпендикуляра.
В этом случае искомое расстояние BC равно модулю разности длин проекций CH и BH.
$ BC = |CH - BH| = \left| 20 - \frac{20\sqrt{3}}{3} \right| = 20 \left( 1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \right) $ см.

Ответ: Расстояние между основаниями наклонных равно $ 20 \left( 1 + \frac{\sqrt{3}}{3} \right) $ см или $ 20 \left( 1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \right) $ см.

Сколько решений имеет задача?

Так как существует два возможных варианта расположения оснований наклонных на прямой (по разные стороны от основания перпендикуляра или по одну сторону), задача имеет два различных решения для искомого расстояния.
Ответ: 2.

205. Сторона $BC$ прямоугольника $ABCD$ равна $b$ и образует с диагональю $AC$ угол $\alpha$. Найдите неизвестную сторону и диагональ прямоугольника.

205. Сторона $BC$ прямоугольника $ABCD$ равна $b$ и образует с диагональю $AC$ угол $\alpha$. Найдите неизвестную сторону и диагональ прямоугольника.

Рассмотрим прямоугольник $ABCD$. Согласно условию, сторона $BC = b$ и угол между диагональю $AC$ и стороной $BC$ равен $\alpha$, то есть $\angle BCA = \alpha$.

Диагональ $AC$ делит прямоугольник на два равных прямоугольных треугольника. Рассмотрим $\triangle ABC$, в котором $\angle B = 90^\circ$, так как $ABCD$ — прямоугольник. В этом треугольнике $BC$ — это катет, прилежащий к углу $\alpha$, а $AB$ — катет, противолежащий углу $\alpha$. $AC$ — гипотенуза.

Неизвестная сторона

Чтобы найти длину неизвестной стороны $AB$, воспользуемся определением тангенса острого угла в прямоугольном треугольнике, который равен отношению противолежащего катета к прилежащему.

$\tan(\alpha) = \frac{AB}{BC}$

Подставим известное значение $BC=b$ и выразим $AB$:

$\tan(\alpha) = \frac{AB}{b}$

$AB = b \cdot \tan(\alpha)$

Диагональ прямоугольника

Чтобы найти длину диагонали $AC$, воспользуемся определением косинуса острого угла в прямоугольном треугольнике, который равен отношению прилежащего катета к гипотенузе.

$\cos(\alpha) = \frac{BC}{AC}$

Подставим известное значение $BC=b$ и выразим $AC$:

$\cos(\alpha) = \frac{b}{AC}$

$AC = \frac{b}{\cos(\alpha)}$

Ответ: неизвестная сторона равна $b \cdot \tan(\alpha)$, диагональ прямоугольника равна $\frac{b}{\cos(\alpha)}$.

206. Большая диагональ ромба равна $b$, а тупой угол ромба равен $\beta$. Найдите сторону ромба и его меньшую диагональ.

206. Большая диагональ ромба равна $b$, а тупой угол ромба равен $\beta$. Найдите сторону ромба и его меньшую диагональ.

Пусть сторона ромба равна $a$, его большая диагональ равна $b$, меньшая диагональ — $d$, а тупой угол равен $\beta$.

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам и являются биссектрисами его углов. Таким образом, диагонали делят ромб на четыре равных прямоугольных треугольника.

Рассмотрим один из таких треугольников. Его гипотенуза — это сторона ромба $a$, а катеты — это половины диагоналей: $b/2$ и $d/2$. Большая диагональ $b$ лежит против тупого угла $\beta$, поэтому угол в нашем прямоугольном треугольнике, противолежащий катету $b/2$, будет равен $\beta/2$.

В прямоугольном треугольнике, используя соотношение между катетом ($b/2$), гипотенузой ($a$) и противолежащим углом ($\beta/2$), получаем по определению синуса:

$\sin(\frac{\beta}{2}) = \frac{b/2}{a}$

Из этого соотношения выражаем сторону ромба $a$:

$a = \frac{b/2}{\sin(\frac{\beta}{2})} = \frac{b}{2\sin(\frac{\beta}{2})}$

Ответ: $\frac{b}{2\sin(\frac{\beta}{2})}$

Для нахождения меньшей диагонали $d$ рассмотрим соотношение между двумя катетами ($b/2$ и $d/2$) в том же прямоугольном треугольнике. Используя определение тангенса угла, получаем:

$\tan(\frac{\beta}{2}) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{b/2}{d/2} = \frac{b}{d}$

Отсюда выражаем меньшую диагональ $d$:

$d = \frac{b}{\tan(\frac{\beta}{2})} = b \cot(\frac{\beta}{2})$

Ответ: $b \cot(\frac{\beta}{2})$

207. Используя данные рисунка 115, найдите отрезки AB и BC.

Рис. 115

a
A
B
C
D
$a$
$\beta$
$\alpha$

б
A
B
C
D
$\alpha$
$a$
$\beta$

207. Используя данные рисунка 115, найдите отрезки $AB$ и $BC$.

Рис. 115

а

б

а

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ADC$, в котором $\angle D = 90^\circ$. Катет $AD$ равен $a$, а противолежащий ему угол $\angle ACD$ равен $\alpha$. Гипотенуза $AC$ является общей для треугольников $\triangle ADC$ и $\triangle ABC$.

Из $\triangle ADC$ найдем гипотенузу $AC$ через синус угла $\alpha$:

$\sin(\alpha) = \frac{AD}{AC}$

Отсюда:

$AC = \frac{AD}{\sin(\alpha)} = \frac{a}{\sin(\alpha)}$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABC$, в котором $\angle B = 90^\circ$. В этом треугольнике нам известна гипотенуза $AC$ и угол $\angle ACB = \beta$.

Найдем катет $AB$, который противолежит углу $\beta$. Используем определение синуса:

$\sin(\beta) = \frac{AB}{AC}$

$AB = AC \cdot \sin(\beta)$

Подставим найденное значение $AC$:

$AB = \frac{a}{\sin(\alpha)} \cdot \sin(\beta) = \frac{a \sin(\beta)}{\sin(\alpha)}$

Найдем катет $BC$, который прилежит к углу $\beta$. Используем определение косинуса:

$\cos(\beta) = \frac{BC}{AC}$

$BC = AC \cdot \cos(\beta)$

Подставим найденное значение $AC$:

$BC = \frac{a}{\sin(\alpha)} \cdot \cos(\beta) = \frac{a \cos(\beta)}{\sin(\alpha)}$

Ответ: $AB = \frac{a \sin(\beta)}{\sin(\alpha)}$, $BC = \frac{a \cos(\beta)}{\sin(\alpha)}$.

б

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ACD$, в котором $\angle C = 90^\circ$. В нем известна гипотенуза $AD = a$ и угол $\angle CAD = \alpha$. Катет $AC$ является общей стороной для треугольников $\triangle ACD$ и $\triangle ABC$.

Из $\triangle ACD$ найдем катет $AC$, который прилежит к углу $\alpha$. Используем определение косинуса:

$\cos(\alpha) = \frac{AC}{AD}$

Отсюда:

$AC = AD \cdot \cos(\alpha) = a \cos(\alpha)$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABC$, в котором $\angle B = 90^\circ$. В этом треугольнике $AC$ является гипотенузой, и нам известен угол $\angle BCA = \beta$.

Найдем катет $AB$, который противолежит углу $\beta$. Используем определение синуса:

$\sin(\beta) = \frac{AB}{AC}$

$AB = AC \cdot \sin(\beta)$

Подставим найденное значение $AC$:

$AB = a \cos(\alpha) \sin(\beta)$

Найдем катет $BC$, который прилежит к углу $\beta$. Используем определение косинуса:

$\cos(\beta) = \frac{BC}{AC}$

$BC = AC \cdot \cos(\beta)$

Подставим найденное значение $AC$:

$BC = a \cos(\alpha) \cos(\beta)$

Ответ: $AB = a \cos(\alpha) \sin(\beta)$, $BC = a \cos(\alpha) \cos(\beta)$.