Страница 95 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

219. Серединные перпендикуляры шести сторон семиугольника пересекаются в одной точке. Докажите, что около этого семиугольника можно описать окружность.

219. Серединные перпендикуляры шести сторон семиугольника пересекаются в одной точке. Докажите, что около этого семиугольника можно описать окружность.

Пусть дан семиугольник с вершинами $A_1, A_2, A_3, A_4, A_5, A_6, A_7$, расположенными последовательно. Сторонами семиугольника являются отрезки $A_1A_2, A_2A_3, \dots, A_6A_7, A_7A_1$.

По условию задачи, серединные перпендикуляры к шести сторонам этого семиугольника пересекаются в одной точке. Назовем эту точку $O$. Без ограничения общности, предположим, что это серединные перпендикуляры к сторонам $A_1A_2, A_2A_3, A_3A_4, A_4A_5, A_5A_6$ и $A_6A_7$.

Основное свойство серединного перпендикуляра к отрезку заключается в том, что любая точка, лежащая на нем, равноудалена от концов этого отрезка.

Применим это свойство для точки $O$ и каждой из шести сторон:

• Так как точка $O$ лежит на серединном перпендикуляре к стороне $A_1A_2$, то расстояния от $O$ до вершин $A_1$ и $A_2$ равны: $OA_1 = OA_2$.
• Так как точка $O$ лежит на серединном перпендикуляре к стороне $A_2A_3$, то $OA_2 = OA_3$.
• Так как точка $O$ лежит на серединном перпендикуляре к стороне $A_3A_4$, то $OA_3 = OA_4$.
• Так как точка $O$ лежит на серединном перпендикуляре к стороне $A_4A_5$, то $OA_4 = OA_5$.
• Так как точка $O$ лежит на серединном перпендикуляре к стороне $A_5A_6$, то $OA_5 = OA_6$.
• Так как точка $O$ лежит на серединном перпендикуляре к стороне $A_6A_7$, то $OA_6 = OA_7$.

Объединив эти равенства в единую цепь, получаем:$OA_1 = OA_2 = OA_3 = OA_4 = OA_5 = OA_6 = OA_7$.

Это означает, что все семь вершин семиугольника ($A_1, A_2, \dots, A_7$) находятся на одинаковом расстоянии от точки $O$.

Многоугольник является вписанным в окружность (или, что эквивалентно, около него можно описать окружность), если все его вершины лежат на этой окружности. Это условие выполняется тогда и только тогда, когда все вершины многоугольника равноудалены от некоторой точки, являющейся центром окружности.

Поскольку мы доказали, что все вершины семиугольника равноудалены от точки $O$, они лежат на окружности с центром в точке $O$ и радиусом $R = OA_1$. Следовательно, около этого семиугольника можно описать окружность.

Ответ: Утверждение доказано. Так как точка пересечения серединных перпендикуляров к шести сторонам равноудалена от всех семи вершин семиугольника, то эти вершины лежат на одной окружности, а значит, около семиугольника можно описать окружность.

220. Биссектрисы четырёх углов пятиугольника пересекаются в одной точке. Докажите, что в этот пятиугольник можно вписать окружность.

220. Биссектрисы четырёх углов пятиугольника пересекаются в одной точке. Докажите, что в этот пятиугольник можно вписать окружность.

Пусть дан пятиугольник $ABCDE$. По условию, биссектрисы его четырех углов, например, $\angle A, \angle B, \angle C$ и $\angle D$, пересекаются в одной точке $O$.

Для того чтобы в многоугольник можно было вписать окружность, необходимо и достаточно, чтобы существовала точка, равноудаленная от всех его сторон. Эта точка будет являться центром вписанной окружности. Докажем, что точка $O$ является такой точкой.

Основное свойство биссектрисы угла заключается в том, что любая ее точка равноудалена от сторон, образующих этот угол. Применим это свойство к точке $O$ последовательно для каждого из четырех углов.

• Так как точка $O$ лежит на биссектрисе угла $\angle A$, она равноудалена от сторон $AB$ и $AE$. Обозначим расстояние от точки до прямой как $d(O, \text{прямая})$. Тогда $d(O, AB) = d(O, AE)$.
• Так как точка $O$ лежит на биссектрисе угла $\angle B$, она равноудалена от сторон $BA$ и $BC$. Следовательно, $d(O, AB) = d(O, BC)$.
• Так как точка $O$ лежит на биссектрисе угла $\angle C$, она равноудалена от сторон $CB$ и $CD$. Следовательно, $d(O, BC) = d(O, CD)$.
• Так как точка $O$ лежит на биссектрисе угла $\angle D$, она равноудалена от сторон $DC$ и $DE$. Следовательно, $d(O, CD) = d(O, DE)$.

Объединив полученные равенства, мы получаем следующую цепочку:

$d(O, AE) = d(O, AB) = d(O, BC) = d(O, CD) = d(O, DE)$.

Из этой цепочки следует, что точка $O$ равноудалена от всех пяти сторон пятиугольника $ABCDE$. Это означает, что существует окружность с центром в точке $O$ и радиусом $r = d(O, AE)$, которая касается всех пяти сторон пятиугольника. Следовательно, в данный пятиугольник можно вписать окружность, что и требовалось доказать.

Интересно отметить, что из равенства $d(O, DE) = d(O, AE)$ следует, что точка $O$ также лежит и на биссектрисе пятого угла $\angle E$.

Ответ: Утверждение доказано. Точка пересечения четырех биссектрис равноудалена от всех пяти сторон пятиугольника, а значит, является центром вписанной в него окружности.

221. Сторона прямоугольника равна 10 см и образует с диагональю угол $60^\circ$. Найдите площадь прямоугольника.

221. Сторона прямоугольника равна 10 см и образует с диагональю угол $60^\circ$. Найдите площадь прямоугольника.

Пусть дан прямоугольник, у которого одна сторона равна $a$, а другая — $b$. По условию задачи, одна из сторон равна 10 см. Пусть это будет сторона $a$, то есть $a = 10$ см.

Диагональ прямоугольника делит его на два одинаковых прямоугольных треугольника. Стороны прямоугольника $a$ и $b$ являются катетами этого треугольника, а диагональ — гипотенузой.

Угол между стороной $a$ и диагональю составляет $60°$. В прямоугольном треугольнике, образованном сторонами $a$, $b$ и диагональю, сторона $a$ является прилежащим катетом к углу $60°$, а сторона $b$ — противолежащим катетом.

Отношение противолежащего катета к прилежащему в прямоугольном треугольнике равно тангенсу угла. Таким образом, мы можем записать:

$\tan(60°) = \frac{b}{a}$

Отсюда мы можем выразить сторону $b$:

$b = a \cdot \tan(60°)$

Зная, что $a = 10$ см и значение $\tan(60°) = \sqrt{3}$, находим длину второй стороны:

$b = 10 \cdot \sqrt{3}$ см.

Площадь прямоугольника $S$ вычисляется как произведение его смежных сторон:

$S = a \cdot b$

Подставим найденные значения сторон в формулу площади:

$S = 10 \cdot 10\sqrt{3} = 100\sqrt{3}$ см².

Ответ: $100\sqrt{3}$ см².

222. Площадь прямоугольника равна 96 $ \text{см}^2 $. Найдите его стороны, если они относятся как $ 3 : 8 $.

222. Площадь прямоугольника равна $96 \text{ см}^2$. Найдите его стороны, если они относятся как $3 : 8$.

Пусть $a$ и $b$ — стороны прямоугольника. Площадь прямоугольника $S$ вычисляется по формуле $S = a \cdot b$. По условию задачи, $S = 96$ см².

Стороны прямоугольника относятся как $3 : 8$. Введем коэффициент пропорциональности $x$. Тогда длины сторон можно выразить как $a = 3x$ и $b = 8x$.

Подставим эти выражения в формулу площади и составим уравнение:
$S = (3x) \cdot (8x)$
$96 = 24x^2$

Решим полученное уравнение, чтобы найти значение $x$:
$x^2 = \frac{96}{24}$
$x^2 = 4$
$x = \sqrt{4}$
$x = 2$
(Мы берем только положительное значение корня, так как длина стороны не может быть отрицательной).

Теперь, зная коэффициент пропорциональности, найдем длины сторон прямоугольника:
Меньшая сторона: $a = 3x = 3 \cdot 2 = 6$ см.
Большая сторона: $b = 8x = 8 \cdot 2 = 16$ см.

Проверка: площадь $6 \text{ см} \cdot 16 \text{ см} = 96 \text{ см}^2$. Отношение сторон $6:16$ после сокращения на 2 равно $3:8$. Все условия задачи выполнены.
Ответ: 6 см и 16 см.

223.Площадь прямоугольника равна $54 \text{ см}^2$. Найдите его стороны, если одна из них на $3 \text{ см}$ меньше другой.

223. Площадь прямоугольника равна $54 \, \text{см}^2$. Найдите его стороны, если одна из них на 3 см меньше другой.

Пусть меньшая сторона прямоугольника равна $x$ см.
Согласно условию, другая сторона на 3 см больше, следовательно, ее длина составляет $(x + 3)$ см.
Площадь прямоугольника ($S$) вычисляется как произведение его сторон:
$S = a \cdot b$
Нам известно, что площадь равна 54 см². Подставим выражения для сторон и значение площади в формулу, чтобы составить уравнение:
$x \cdot (x + 3) = 54$
Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$:
$x^2 + 3x = 54$
$x^2 + 3x - 54 = 0$
Теперь решим это квадратное уравнение. Это можно сделать с помощью дискриминанта или по теореме Виета.
Решение через дискриминант:
Дискриминант $D$ вычисляется по формуле $D = b^2 - 4ac$.
$D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-54) = 9 + 216 = 225$
Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня, которые находятся по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-3 + \sqrt{225}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 + 15}{2} = \frac{12}{2} = 6$
$x_2 = \frac{-3 - \sqrt{225}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 - 15}{2} = \frac{-18}{2} = -9$
Длина стороны геометрической фигуры не может быть отрицательным числом, поэтому корень $x_2 = -9$ не удовлетворяет условию задачи.
Таким образом, длина меньшей стороны прямоугольника равна 6 см.
Теперь найдем длину большей стороны:
$x + 3 = 6 + 3 = 9$ см.
Проверим наше решение: произведение сторон должно быть равно площади.
$6 \text{ см} \cdot 9 \text{ см} = 54 \text{ см}^2$.
Условие выполнено.
Ответ: стороны прямоугольника равны 6 см и 9 см.

224. Квадрат и прямоугольник равновелики. Сторона квадрата равна 18 см, а одна из сторон прямоугольника в 9 раз меньше другой. Найдите стороны прямоугольника.

224. Квадрат и прямоугольник равновелики. Сторона квадрата равна 18 см, а одна из сторон прямоугольника в 9 раз меньше другой. Найдите стороны прямоугольника.

По условию, квадрат и прямоугольник равновелики, что означает равенство их площадей. Обозначим площадь квадрата как $S_{кв}$, а площадь прямоугольника как $S_{пр}$. Таким образом, $S_{кв} = S_{пр}$.

1. Сначала вычислим площадь квадрата. Сторона квадрата $a = 18$ см. Площадь квадрата находится по формуле $S_{кв} = a^2$.

$S_{кв} = 18^2 = 324$ см².

2. Так как площади фигур равны, площадь прямоугольника $S_{пр}$ также составляет 324 см².

3. Обозначим стороны прямоугольника. Пусть меньшая сторона равна $x$ см. По условию, одна из сторон в 9 раз меньше другой, значит, большая сторона будет равна $9x$ см.

4. Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон. Составим уравнение, используя известную площадь:

$S_{пр} = x \cdot 9x$

$324 = 9x^2$

5. Решим полученное уравнение, чтобы найти $x$:

$x^2 = \frac{324}{9}$

$x^2 = 36$

$x = \sqrt{36}$

$x = 6$ см (длина стороны может быть только положительным числом).

6. Мы нашли меньшую сторону прямоугольника, она равна 6 см. Теперь найдем большую сторону:

$9x = 9 \cdot 6 = 54$ см.

Таким образом, стороны прямоугольника равны 6 см и 54 см.

Ответ: стороны прямоугольника равны 6 см и 54 см.

225. Найдите радиус окружности, описанной около квадрата, площадь которого равна $50 \text{ см}^2$.

225. Найдите радиус окружности, описанной около квадрата, площадь которого равна $50 \text{ см}^2$.

Пусть $S$ – площадь квадрата, $d$ – его диагональ, а $R$ – радиус описанной окружности. Диаметр окружности, описанной около квадрата, равен диагонали этого квадрата. Следовательно, радиус $R$ равен половине диагонали: $R = \frac{d}{2}$.

Площадь квадрата можно выразить через его диагональ по формуле: $S = \frac{d^2}{2}$. По условию задачи, площадь квадрата равна 50 см². Подставим это значение в формулу и найдем диагональ:

$50 = \frac{d^2}{2}$

$d^2 = 50 \cdot 2 = 100$

$d = \sqrt{100} = 10$ см.

Теперь найдем радиус описанной окружности, который равен половине диагонали:

$R = \frac{d}{2} = \frac{10}{2} = 5$ см.

Ответ: 5 см.

226. Как изменится площадь квадрата, если его сторону:

1) уменьшить в 3 раза;

2) увеличить в $a$ раз?

226. Как изменится площадь квадрата, если его сторону:

1) уменьшить в 3 раза;

2) увеличить в $a$ раз?

1) уменьшить в 3 раза;

Пусть первоначальная сторона квадрата равна $x$. Тогда его площадь $S$ вычисляется по формуле: $S = x^2$.

Если сторону квадрата уменьшить в 3 раза, то новая сторона $x_{нов}$ станет равной $x_{нов} = \frac{x}{3}$.

Новая площадь квадрата $S_{нов}$ будет равна квадрату новой стороны:

$S_{нов} = (x_{нов})^2 = (\frac{x}{3})^2 = \frac{x^2}{3^2} = \frac{x^2}{9}$.

Так как первоначальная площадь $S = x^2$, то мы можем выразить новую площадь через первоначальную:

$S_{нов} = \frac{S}{9}$.

Таким образом, площадь квадрата уменьшится в 9 раз.

Ответ: площадь уменьшится в 9 раз.

2) увеличить в a раз?

Пусть первоначальная сторона квадрата равна $x$, а его площадь равна $S = x^2$.

Если сторону квадрата увеличить в $a$ раз, то новая сторона $x_{нов}$ станет равной $x_{нов} = a \cdot x$.

Новая площадь квадрата $S_{нов}$ будет равна:

$S_{нов} = (x_{нов})^2 = (a \cdot x)^2 = a^2 \cdot x^2$.

Подставим значение первоначальной площади $S = x^2$ в это выражение:

$S_{нов} = a^2 \cdot S$.

Следовательно, площадь квадрата увеличится в $a^2$ раз.

Ответ: площадь увеличится в $a^2$ раз.

227. Как изменится площадь прямоугольника, если:

1) одну из его сторон уменьшить в 6 раз;

2) одну сторону увеличить в 3 раза, а другую — в 5 раз;

3) одну сторону уменьшить в $\sqrt{3}$ раз, а другую увеличить в $\sqrt{12}$ раз?

227. Как изменится площадь прямоугольника, если:

1) одну из его сторон уменьшить в 6 раз;

2) одну сторону увеличить в 3 раза, а другую — в 5 раз;

3) одну сторону уменьшить в $\sqrt{3}$ раз, а другую увеличить в $\sqrt{12}$ раз?

1) одну из его сторон уменьшить в 6 раз;

Пусть стороны исходного прямоугольника равны $a$ и $b$. Его площадь $S$ вычисляется по формуле $S = a \cdot b$.

Если одну из сторон, например $a$, уменьшить в 6 раз, её новая длина станет $a_1 = \frac{a}{6}$. Длина второй стороны $b$ не изменится.

Новая площадь прямоугольника $S_1$ будет равна произведению новых сторон:

$S_1 = a_1 \cdot b = \frac{a}{6} \cdot b = \frac{a \cdot b}{6}$.

Так как $S = a \cdot b$, то $S_1 = \frac{S}{6}$. Следовательно, площадь прямоугольника уменьшится в 6 раз.

Ответ: площадь уменьшится в 6 раз.

2) одну сторону увеличить в 3 раза, а другую — в 5 раз;

Пусть стороны исходного прямоугольника равны $a$ и $b$, а его площадь $S = a \cdot b$.

При увеличении одной стороны в 3 раза, а другой — в 5 раз, новые длины сторон будут $a_1 = 3a$ и $b_1 = 5b$.

Новая площадь прямоугольника $S_1$ будет равна:

$S_1 = a_1 \cdot b_1 = (3a) \cdot (5b) = 15 \cdot (a \cdot b)$.

Поскольку $S = a \cdot b$, получаем $S_1 = 15S$. Это означает, что площадь прямоугольника увеличится в 15 раз.

Ответ: площадь увеличится в 15 раз.

3) одну сторону уменьшить в $\sqrt{3}$ раз, а другую увеличить в $\sqrt{12}$ раз?

Пусть стороны исходного прямоугольника равны $a$ и $b$, а его площадь $S = a \cdot b$.

Новые длины сторон после изменений будут $a_1 = \frac{a}{\sqrt{3}}$ и $b_1 = b \cdot \sqrt{12}$.

Вычислим новую площадь прямоугольника $S_1$:

$S_1 = a_1 \cdot b_1 = \left(\frac{a}{\sqrt{3}}\right) \cdot (b \cdot \sqrt{12}) = (a \cdot b) \cdot \frac{\sqrt{12}}{\sqrt{3}}$.

Упростим коэффициент изменения площади:$\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{12}{3}} = \sqrt{4} = 2$.

Таким образом, новая площадь $S_1 = (a \cdot b) \cdot 2 = 2S$. Это означает, что площадь прямоугольника увеличится в 2 раза.

Ответ: площадь увеличится в 2 раза.

228. Биссектриса угла прямоугольника делит одну из его сторон на отрезки длиной 3 см и 8 см. Найдите площадь прямоугольника. Сколько решений имеет задача?

228. Биссектриса угла прямоугольника делит одну из его сторон на отрезки длиной 3 см и 8 см. Найдите площадь прямоугольника. Сколько решений имеет задача?

Пусть дан прямоугольник. Проведем из одной из его вершин биссектрису угла. Так как все углы прямоугольника равны $90^\circ$, биссектриса делит этот угол на два угла по $45^\circ$.

Биссектриса, одна из сторон прямоугольника, выходящая из той же вершины, и отрезок, отсекаемый биссектрисой на противоположной стороне, образуют треугольник. Этот треугольник является прямоугольным (один из его углов — это угол прямоугольника, равный $90^\circ$) и равнобедренным, так как два его угла равны $45^\circ$ (один угол $45^\circ$ по определению биссектрисы, а другой вычисляется как $180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$).

Из равнобедренности этого треугольника следует, что его катеты равны. То есть, сторона прямоугольника, прилежащая к углу, из которого проведена биссектриса, равна отрезку, который биссектриса отсекает на другой стороне (от вершины до точки пересечения).

По условию, сторона, которую пересекает биссектриса, делится на отрезки длиной 3 см и 8 см. Следовательно, длина этой стороны равна их сумме: $3 + 8 = 11$ см. А длина другой, прилежащей стороны, должна быть равна одному из этих отрезков. Это приводит к двум возможным случаям.

Найдите площадь прямоугольника

Случай 1. Одна из сторон прямоугольника равна меньшему отрезку.

Стороны прямоугольника равны 3 см и ($3 + 8$) = 11 см.
Площадь прямоугольника в этом случае составляет: $S_1 = 3 \text{ см} \times 11 \text{ см} = 33 \text{ см}^2$.

Случай 2. Одна из сторон прямоугольника равна большему отрезку.

Стороны прямоугольника равны 8 см и ($3 + 8$) = 11 см.
Площадь прямоугольника в этом случае составляет: $S_2 = 8 \text{ см} \times 11 \text{ см} = 88 \text{ см}^2$.

Ответ: площадь прямоугольника может быть $33 \text{ см}^2$ или $88 \text{ см}^2$.

Сколько решений имеет задача?

Поскольку существуют два различных прямоугольника (со сторонами 3 см и 11 см, и со сторонами 8 см и 11 см), которые удовлетворяют условию задачи, то задача имеет два решения.

Ответ: 2 решения.

229. Биссектриса угла прямоугольника делит его диагональ на отрезки длиной 3 см и 6 см. Найдите площадь прямоугольника.

229. Биссектриса угла прямоугольника делит его диагональ на отрезки длиной 3 см и 6 см. Найдите площадь прямоугольника.

Пусть дан прямоугольник ABCD. Пусть AK — биссектриса угла A, которая пересекает диагональ BD в точке M. По условию, точка M делит диагональ BD на отрезки длиной 3 см и 6 см. Таким образом, вся диагональ BD имеет длину $3 + 6 = 9$ см.

Рассмотрим треугольник ABD. Этот треугольник является прямоугольным, так как угол A в прямоугольнике равен 90°. Отрезок AM является биссектрисой угла A в этом треугольнике.

По свойству биссектрисы угла треугольника, она делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам. В нашем случае это означает:

$$ \frac{AB}{AD} = \frac{BM}{MD} $$

Возможны два случая соотношения отрезков:

1. BM = 3 см и MD = 6 см

В этом случае отношение сторон равно:

$$ \frac{AB}{AD} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} $$

Отсюда получаем, что $AD = 2 \cdot AB$.

2. BM = 6 см и MD = 3 см

В этом случае отношение сторон равно:

$$ \frac{AB}{AD} = \frac{6}{3} = 2 $$

Отсюда получаем, что $AB = 2 \cdot AD$.

Оба случая описывают один и тот же прямоугольник, просто с разным расположением сторон. Площадь в обоих случаях будет одинаковой. Решим задачу для первого случая, где $AD = 2 \cdot AB$.

Применим теорему Пифагора для прямоугольного треугольника ABD:

$$ AB^2 + AD^2 = BD^2 $$

Подставим известные нам значения и соотношение сторон:

$$ AB^2 + (2 \cdot AB)^2 = 9^2 $$

$$ AB^2 + 4 \cdot AB^2 = 81 $$

$$ 5 \cdot AB^2 = 81 $$

$$ AB^2 = \frac{81}{5} $$

Площадь прямоугольника $S$ вычисляется по формуле $S = AB \cdot AD$. Подставим в эту формулу соотношение $AD = 2 \cdot AB$:

$$ S = AB \cdot (2 \cdot AB) = 2 \cdot AB^2 $$

Теперь подставим найденное значение $AB^2$:

$$ S = 2 \cdot \frac{81}{5} = \frac{162}{5} = 32.4 \text{ см}^2 $$

Ответ: $32.4 \text{ см}^2$.

230. Стороны двух данных квадратов равны $a$ и $b$. Постройте квадрат, площадь которого равна $4a^2 + b^2$.

230. Стороны двух данных квадратов равны $a$ и $b$. Постройте квадрат, площадь которого равна $4a^2 + b^2$.

Пусть $x$ – сторона искомого квадрата. Его площадь $S$ равна $x^2$. Согласно условию задачи, площадь квадрата должна быть равна $4a^2 + b^2$. Таким образом, нам необходимо построить квадрат со стороной $x$, для которой выполняется равенство $x^2 = 4a^2 + b^2$.

Заметим, что это уравнение можно переписать в виде $x^2 = (2a)^2 + b^2$. Согласно теореме Пифагора, отрезок длиной $x$ является гипотенузой прямоугольного треугольника, катеты которого имеют длины $2a$ и $b$.

Таким образом, задача сводится к построению такого прямоугольного треугольника, нахождение его гипотенузы и построению квадрата на этой гипотенузе.

Построение выполняется в следующем порядке:
1. С помощью циркуля и линейки строим отрезок длиной $2a$. Для этого на произвольной прямой откладываем дважды подряд данный отрезок $a$.
2. Строим прямоугольный треугольник. На прямой откладываем построенный отрезок длиной $2a$ (пусть это будет отрезок $AB$). В точке $A$ восстанавливаем перпендикуляр к этой прямой. На перпендикуляре откладываем отрезок длиной $b$ (пусть это будет отрезок $AC$).
3. Соединяем точки $B$ и $C$. Отрезок $BC$ является гипотенузой прямоугольного треугольника $ABC$. Его длина $x = |BC| = \sqrt{(2a)^2 + b^2}$. Это и есть сторона искомого квадрата.
4. На отрезке $BC$ как на стороне строим квадрат. Для этого, например, из точек $B$ и $C$ проводим перпендикуляры к $BC$ в одну сторону и откладываем на них отрезки, равные $BC$. Соединяем их концы, получая искомый квадрат.

Площадь построенного квадрата будет равна $x^2 = (|BC|)^2 = (2a)^2 + b^2 = 4a^2 + b^2$.

Ответ: Искомый квадрат — это квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника с катетами, равными $2a$ и $b$.