Номер 230, страница 95 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

230. Стороны двух данных квадратов равны $a$ и $b$. Постройте квадрат, площадь которого равна $4a^2 + b^2$.

230. Стороны двух данных квадратов равны $a$ и $b$. Постройте квадрат, площадь которого равна $4a^2 + b^2$.

Пусть $x$ – сторона искомого квадрата. Его площадь $S$ равна $x^2$. Согласно условию задачи, площадь квадрата должна быть равна $4a^2 + b^2$. Таким образом, нам необходимо построить квадрат со стороной $x$, для которой выполняется равенство $x^2 = 4a^2 + b^2$.

Заметим, что это уравнение можно переписать в виде $x^2 = (2a)^2 + b^2$. Согласно теореме Пифагора, отрезок длиной $x$ является гипотенузой прямоугольного треугольника, катеты которого имеют длины $2a$ и $b$.

Таким образом, задача сводится к построению такого прямоугольного треугольника, нахождение его гипотенузы и построению квадрата на этой гипотенузе.

Построение выполняется в следующем порядке:
1. С помощью циркуля и линейки строим отрезок длиной $2a$. Для этого на произвольной прямой откладываем дважды подряд данный отрезок $a$.
2. Строим прямоугольный треугольник. На прямой откладываем построенный отрезок длиной $2a$ (пусть это будет отрезок $AB$). В точке $A$ восстанавливаем перпендикуляр к этой прямой. На перпендикуляре откладываем отрезок длиной $b$ (пусть это будет отрезок $AC$).
3. Соединяем точки $B$ и $C$. Отрезок $BC$ является гипотенузой прямоугольного треугольника $ABC$. Его длина $x = |BC| = \sqrt{(2a)^2 + b^2}$. Это и есть сторона искомого квадрата.
4. На отрезке $BC$ как на стороне строим квадрат. Для этого, например, из точек $B$ и $C$ проводим перпендикуляры к $BC$ в одну сторону и откладываем на них отрезки, равные $BC$. Соединяем их концы, получая искомый квадрат.

Площадь построенного квадрата будет равна $x^2 = (|BC|)^2 = (2a)^2 + b^2 = 4a^2 + b^2$.

Ответ: Искомый квадрат — это квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника с катетами, равными $2a$ и $b$.