Номер 237, страница 96 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

237. Высота, проведённая из вершины тупого угла ромба, делит сторону на отрезки длиной 8 см и 12 см, считая от вершины тупого угла. Найдите площадь ромба.

237. Высота, проведённая из вершины тупого угла ромба, делит сторону на отрезки длиной 8 см и 12 см, считая от вершины тупого угла. Найдите площадь ромба.

Пусть в ромбе ABCD углы B и D являются тупыми, а углы A и C — острыми. Проведём высоту BK из вершины тупого угла B на сторону CD. Так как угол C, прилежащий к стороне CD, острый, то основание высоты K будет лежать на отрезке CD.

Высота BK делит сторону CD на два отрезка: CK и DK. В условии сказано, что отсчёт ведётся "от вершины тупого угла". На стороне CD вершина C является вершиной острого угла, а вершина D — вершиной тупого угла. Следовательно, отрезок, примыкающий к D, равен 8 см, а другой отрезок равен 12 см. То есть, $DK = 8$ см и $CK = 12$ см.

Сторона ромба a равна длине стороны CD, которую можно найти, сложив длины отрезков CK и DK:
$a = CD = CK + DK = 12 \text{ см} + 8 \text{ см} = 20 \text{ см}$.

Так как все стороны ромба равны, то $BC = a = 20$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник BKC. В нём гипотенуза $BC = 20$ см, а один из катетов $CK = 12$ см. Второй катет BK является высотой ромба (обозначим её как h). Найдём длину высоты по теореме Пифагора:
$BK^2 = BC^2 - CK^2$
$h^2 = 20^2 - 12^2 = 400 - 144 = 256$
$h = \sqrt{256} = 16$ см.

Площадь ромба $S$ вычисляется по формуле произведения стороны на высоту, проведённую к этой стороне:
$S = a \cdot h = CD \cdot BK$
$S = 20 \text{ см} \cdot 16 \text{ см} = 320 \text{ см}^2$.

Ответ: 320 см².