Номер 234, страница 96 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

234. Стороны параллелограмма равны 10 см и 12 см, а одна из его высот — 6 см. Найдите вторую высоту параллелограмма. Сколько решений имеет задача?

234. Стороны параллелограмма равны 10 см и 12 см, а одна из его высот — 6 см. Найдите вторую высоту параллелограмма. Сколько решений имеет задача?

Площадь параллелограмма можно вычислить по формуле $S = a \cdot h_a$, где $a$ — сторона параллелограмма, а $h_a$ — высота, проведенная к этой стороне. Так как площадь фигуры — величина постоянная, то для двух сторон $a$ и $b$ и соответствующих им высот $h_a$ и $h_b$ справедливо равенство: $S = a \cdot h_a = b \cdot h_b$.

В условии задачи не указано, к какой из сторон (10 см или 12 см) проведена высота 6 см. Поэтому необходимо рассмотреть два возможных случая.

Случай 1: Данная высота проведена к большей стороне

Пусть большая сторона $a = 12$ см, а высота, проведенная к ней, $h_a = 6$ см. Меньшая сторона $b = 10$ см, а высота, проведенная к ней, — $h_b$.

Найдем площадь параллелограмма:

$S = a \cdot h_a = 12 \cdot 6 = 72$ см².

Теперь, зная площадь, найдем вторую высоту $h_b$ из формулы $S = b \cdot h_b$:

$72 = 10 \cdot h_b$

$h_b = \frac{72}{10} = 7.2$ см.

Этот случай возможен, так как высота (6 см) меньше смежной стороны (10 см), и найденная высота (7.2 см) меньше смежной стороны (12 см).

Ответ: вторая высота равна 7.2 см.

Случай 2: Данная высота проведена к меньшей стороне

Пусть меньшая сторона $a = 10$ см, а высота, проведенная к ней, $h_a = 6$ см. Большая сторона $b = 12$ см, а высота, проведенная к ней, — $h_b$.

Найдем площадь параллелограмма:

$S = a \cdot h_a = 10 \cdot 6 = 60$ см².

Теперь найдем вторую высоту $h_b$ из формулы $S = b \cdot h_b$:

$60 = 12 \cdot h_b$

$h_b = \frac{60}{12} = 5$ см.

Этот случай также возможен, так как высота (6 см) меньше смежной стороны (12 см), и найденная высота (5 см) меньше смежной стороны (10 см).

Ответ: вторая высота равна 5 см.

Сколько решений имеет задача?

Поскольку оба рассмотренных случая являются допустимыми с точки зрения геометрии, задача имеет два различных решения.

Ответ: задача имеет 2 решения; вторая высота может быть равна 7.2 см или 5 см.