Номер 228, страница 95 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

228. Биссектриса угла прямоугольника делит одну из его сторон на отрезки длиной 3 см и 8 см. Найдите площадь прямоугольника. Сколько решений имеет задача?

228. Биссектриса угла прямоугольника делит одну из его сторон на отрезки длиной 3 см и 8 см. Найдите площадь прямоугольника. Сколько решений имеет задача?

Пусть дан прямоугольник. Проведем из одной из его вершин биссектрису угла. Так как все углы прямоугольника равны $90^\circ$, биссектриса делит этот угол на два угла по $45^\circ$.

Биссектриса, одна из сторон прямоугольника, выходящая из той же вершины, и отрезок, отсекаемый биссектрисой на противоположной стороне, образуют треугольник. Этот треугольник является прямоугольным (один из его углов — это угол прямоугольника, равный $90^\circ$) и равнобедренным, так как два его угла равны $45^\circ$ (один угол $45^\circ$ по определению биссектрисы, а другой вычисляется как $180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$).

Из равнобедренности этого треугольника следует, что его катеты равны. То есть, сторона прямоугольника, прилежащая к углу, из которого проведена биссектриса, равна отрезку, который биссектриса отсекает на другой стороне (от вершины до точки пересечения).

По условию, сторона, которую пересекает биссектриса, делится на отрезки длиной 3 см и 8 см. Следовательно, длина этой стороны равна их сумме: $3 + 8 = 11$ см. А длина другой, прилежащей стороны, должна быть равна одному из этих отрезков. Это приводит к двум возможным случаям.

Найдите площадь прямоугольника

Случай 1. Одна из сторон прямоугольника равна меньшему отрезку.

Стороны прямоугольника равны 3 см и ($3 + 8$) = 11 см.
Площадь прямоугольника в этом случае составляет: $S_1 = 3 \text{ см} \times 11 \text{ см} = 33 \text{ см}^2$.

Случай 2. Одна из сторон прямоугольника равна большему отрезку.

Стороны прямоугольника равны 8 см и ($3 + 8$) = 11 см.
Площадь прямоугольника в этом случае составляет: $S_2 = 8 \text{ см} \times 11 \text{ см} = 88 \text{ см}^2$.

Ответ: площадь прямоугольника может быть $33 \text{ см}^2$ или $88 \text{ см}^2$.

Сколько решений имеет задача?

Поскольку существуют два различных прямоугольника (со сторонами 3 см и 11 см, и со сторонами 8 см и 11 см), которые удовлетворяют условию задачи, то задача имеет два решения.

Ответ: 2 решения.