Страница 96 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

231. Найдите площадь параллелограмма, сторона которого равна 12 см, а высота, проведённая к ней, — 8 см.

231. Найдите площадь параллелограмма, сторона которого равна 12 см, а высота, проведённая к ней, – 8 см.

Площадь параллелограмма ($S$) вычисляется как произведение длины его стороны ($a$) на высоту ($h$), которая проведена к этой стороне. Формула для расчёта площади выглядит следующим образом:
$S = a \cdot h$

В условии задачи даны следующие значения:
Длина стороны $a = 12$ см.
Высота, проведённая к этой стороне, $h = 8$ см.

Теперь подставим известные значения в формулу и выполним вычисление:
$S = 12 \text{ см} \cdot 8 \text{ см} = 96 \text{ см}^2$.

Ответ: $96 \text{ см}^2$.

232. Какие из параллелограммов, изображённых на рисунке 118, равновелики?

Рис. 118

232. Какие из параллелограммов, изображённых на рисунке 118, равновелики?

Рис. 118

а

б

в

г

д

е

ж

Равновеликие фигуры — это геометрические фигуры, имеющие равные площади. Чтобы определить, какие из изображённых параллелограммов равновелики, необходимо вычислить площадь каждого из них.

Площадь параллелограмма вычисляется по формуле $S = a \cdot h$, где $a$ — длина основания, а $h$ — высота, проведённая к этому основанию. Примем сторону одной клетки на рисунке за 1 условную единицу (у.е.).

Вычислим площади всех параллелограммов:

• а: Основание $a = 3$ у.е., высота $h = 2$ у.е. Площадь $S_а = 3 \cdot 2 = 6$ кв. ед.
• б: Основание $a = 4$ у.е., высота $h = 2$ у.е. Площадь $S_б = 4 \cdot 2 = 8$ кв. ед.
• в: Основание $a = 3$ у.е., высота $h = 3$ у.е. Площадь $S_в = 3 \cdot 3 = 9$ кв. ед.
• г: Основание $a = 2$ у.е., высота $h = 3$ у.е. Площадь $S_г = 2 \cdot 3 = 6$ кв. ед.
• д: Основание $a = 5$ у.е., высота $h = 2$ у.е. Площадь $S_д = 5 \cdot 2 = 10$ кв. ед.
• е: Основание $a = 3$ у.е., высота $h = 3$ у.е. Площадь $S_е = 3 \cdot 3 = 9$ кв. ед.
• ж: Основание $a = 4$ у.е., высота $h = 2$ у.е. Площадь $S_ж = 4 \cdot 2 = 8$ кв. ед.

Теперь сгруппируем параллелограммы с равными площадями.

Группа 1. Параллелограммы с площадью 6 кв. ед.
Сравнив вычисленные площади, видим, что $S_а = S_г = 6$ кв. ед. Это означает, что параллелограммы а и г равновелики.
Ответ: а и г.

Группа 2. Параллелограммы с площадью 8 кв. ед.
Площади параллелограммов б и ж равны: $S_б = S_ж = 8$ кв. ед. Следовательно, эти параллелограммы равновелики.
Ответ: б и ж.

Группа 3. Параллелограммы с площадью 9 кв. ед.
Площади параллелограммов в и е равны: $S_в = S_е = 9$ кв. ед. Следовательно, эти параллелограммы также являются равновеликими.
Ответ: в и е.

Параллелограмм д имеет площадь 10 кв. ед., которая не равна площади ни одного другого параллелограмма на рисунке.

233. Площадь параллелограмма равна $96 \text{ см}^2$, одна из его сторон — $4 \text{ см}$, а высота, проведённая к соседней стороне, — $8 \text{ см}$. Найдите неизвестные сторону и высоту параллелограмма.

233. Площадь параллелограмма равна $96 \text{ см}^2$, одна из его сторон — $4 \text{ см}$, а высота, проведённая к соседней стороне, — $8 \text{ см}$. Найдите неизвестные сторону и высоту параллелограмма.

Пусть стороны параллелограмма равны $a$ и $b$, а высоты, проведенные к этим сторонам, — $h_a$ и $h_b$ соответственно. Площадь параллелограмма ($S$) можно найти как произведение стороны на высоту, опущенную на эту сторону: $S = a \cdot h_a = b \cdot h_b$.

Согласно условию задачи дано:
Площадь $S = 96$ см².
Одна из сторон, пусть это будет сторона $a$, равна 4 см, то есть $a = 4$ см.
Высота, проведенная к соседней стороне (то есть к стороне $b$), равна 8 см, то есть $h_b = 8$ см.

Требуется найти длину неизвестной стороны $b$ и неизвестной высоты $h_a$.

Нахождение неизвестной стороны
Для нахождения длины стороны $b$ воспользуемся формулой площади $S = b \cdot h_b$. Подставим в нее известные значения площади и высоты:
$96 = b \cdot 8$
Теперь выразим $b$:
$b = \frac{96}{8} = 12$ см.

Нахождение неизвестной высоты
Для нахождения высоты $h_a$ воспользуемся формулой $S = a \cdot h_a$. Подставим известные значения площади и стороны $a$:
$96 = 4 \cdot h_a$
Теперь выразим $h_a$:
$h_a = \frac{96}{4} = 24$ см.

Ответ: неизвестная сторона — 12 см, неизвестная высота — 24 см.

234. Стороны параллелограмма равны 10 см и 12 см, а одна из его высот — 6 см. Найдите вторую высоту параллелограмма. Сколько решений имеет задача?

234. Стороны параллелограмма равны 10 см и 12 см, а одна из его высот — 6 см. Найдите вторую высоту параллелограмма. Сколько решений имеет задача?

Площадь параллелограмма можно вычислить по формуле $S = a \cdot h_a$, где $a$ — сторона параллелограмма, а $h_a$ — высота, проведенная к этой стороне. Так как площадь фигуры — величина постоянная, то для двух сторон $a$ и $b$ и соответствующих им высот $h_a$ и $h_b$ справедливо равенство: $S = a \cdot h_a = b \cdot h_b$.

В условии задачи не указано, к какой из сторон (10 см или 12 см) проведена высота 6 см. Поэтому необходимо рассмотреть два возможных случая.

Случай 1: Данная высота проведена к большей стороне

Пусть большая сторона $a = 12$ см, а высота, проведенная к ней, $h_a = 6$ см. Меньшая сторона $b = 10$ см, а высота, проведенная к ней, — $h_b$.

Найдем площадь параллелограмма:

$S = a \cdot h_a = 12 \cdot 6 = 72$ см².

Теперь, зная площадь, найдем вторую высоту $h_b$ из формулы $S = b \cdot h_b$:

$72 = 10 \cdot h_b$

$h_b = \frac{72}{10} = 7.2$ см.

Этот случай возможен, так как высота (6 см) меньше смежной стороны (10 см), и найденная высота (7.2 см) меньше смежной стороны (12 см).

Ответ: вторая высота равна 7.2 см.

Случай 2: Данная высота проведена к меньшей стороне

Пусть меньшая сторона $a = 10$ см, а высота, проведенная к ней, $h_a = 6$ см. Большая сторона $b = 12$ см, а высота, проведенная к ней, — $h_b$.

Найдем площадь параллелограмма:

$S = a \cdot h_a = 10 \cdot 6 = 60$ см².

Теперь найдем вторую высоту $h_b$ из формулы $S = b \cdot h_b$:

$60 = 12 \cdot h_b$

$h_b = \frac{60}{12} = 5$ см.

Этот случай также возможен, так как высота (6 см) меньше смежной стороны (12 см), и найденная высота (5 см) меньше смежной стороны (10 см).

Ответ: вторая высота равна 5 см.

Сколько решений имеет задача?

Поскольку оба рассмотренных случая являются допустимыми с точки зрения геометрии, задача имеет два различных решения.

Ответ: задача имеет 2 решения; вторая высота может быть равна 7.2 см или 5 см.

235. Найдите площадь параллелограмма, стороны которого равны 25 см и 7 см, а одна их диагоналей перпендикулярна меньшей стороне.

235. Найдите площадь параллелограмма, стороны которого равны 25 см и 7 см, а одна их диагоналей перпендикулярна меньшей стороне.

Пусть дан параллелограмм со сторонами $a = 25$ см и $b = 7$ см. Меньшая сторона, соответственно, равна 7 см. Обозначим вершины параллелограмма как $A$, $B$, $C$, $D$, так что смежные стороны равны $AB = 25$ см и $AD = 7$ см.

По условию задачи, одна из диагоналей перпендикулярна меньшей стороне ($AD = 7$ см). Рассмотрим два возможных случая, в зависимости от того, какая из двух диагоналей ($AC$ или $BD$) перпендикулярна стороне $AD$.

Случай 1: Диагональ $BD$ перпендикулярна стороне $AD$

В этом случае треугольник $ABD$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $D$ ($\angle ADB = 90^\circ$). Сторона $AD$ является катетом ($AD = 7$ см), а сторона $AB$ — гипотенузой ($AB = 25$ см). Второй катет — это диагональ $BD$.

По теореме Пифагора найдем длину диагонали $BD$:
$BD^2 = AB^2 - AD^2 = 25^2 - 7^2 = 625 - 49 = 576$.
$BD = \sqrt{576} = 24$ см.

Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту. Если в качестве основания взять сторону $AD$, то высота, проведенная к ней из вершины $B$, будет совпадать с диагональю $BD$, поскольку по условию этого случая $BD \perp AD$.

Таким образом, площадь $S$ параллелограмма вычисляется как:
$S = AD \times BD = 7 \times 24 = 168$ см².

Случай 2: Диагональ $AC$ перпендикулярна стороне $AD$

В этом случае треугольник $ACD$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $A$ ($\angle CAD = 90^\circ$). Сторона $AD$ является катетом ($AD = 7$ см). Сторона $CD$ в параллелограмме равна стороне $AB$, поэтому $CD = 25$ см. В прямоугольном треугольнике $ACD$ сторона $CD$ является гипотенузой. Второй катет — это диагональ $AC$.

По теореме Пифагора найдем длину диагонали $AC$:
$AC^2 = CD^2 - AD^2 = 25^2 - 7^2 = 625 - 49 = 576$.
$AC = \sqrt{576} = 24$ см.

Диагональ $AC$ делит параллелограмм $ABCD$ на два равных по площади треугольника. Площадь параллелограмма равна удвоенной площади треугольника $ACD$. Площадь прямоугольного треугольника $ACD$ равна половине произведения его катетов.

Площадь треугольника $ACD$ равна:
$S_{\triangle ACD} = \frac{1}{2} \times AD \times AC = \frac{1}{2} \times 7 \times 24 = 84$ см².

Следовательно, площадь $S$ всего параллелограмма равна:
$S = 2 \times S_{\triangle ACD} = 2 \times 84 = 168$ см².

Как видим, оба возможных случая приводят к одному и тому же результату.

Ответ: 168 см².

236. Стороны параллелограмма равны 6 см и 14 см, а его острый угол равен $45^\circ$. Найдите площадь параллелограмма.

236. Стороны параллелограмма равны 6 см и 14 см, а его острый угол равен $45^{\circ}$. Найдите площадь параллелограмма.

Площадь параллелограмма можно вычислить по формуле произведения двух его смежных сторон на синус угла между ними: $S = a \cdot b \cdot \sin(\alpha)$.

По условию задачи, стороны параллелограмма $a = 6$ см и $b = 14$ см, а острый угол между ними $\alpha = 45^\circ$.

Подставим известные значения в формулу. Значение синуса $45^\circ$ является табличной величиной и равно $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Выполним вычисления:

$S = 6 \cdot 14 \cdot \sin(45^\circ) = 84 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 42\sqrt{2}$ (см²).

Ответ: $42\sqrt{2}$ см².

237. Высота, проведённая из вершины тупого угла ромба, делит сторону на отрезки длиной 8 см и 12 см, считая от вершины тупого угла. Найдите площадь ромба.

237. Высота, проведённая из вершины тупого угла ромба, делит сторону на отрезки длиной 8 см и 12 см, считая от вершины тупого угла. Найдите площадь ромба.

Пусть в ромбе ABCD углы B и D являются тупыми, а углы A и C — острыми. Проведём высоту BK из вершины тупого угла B на сторону CD. Так как угол C, прилежащий к стороне CD, острый, то основание высоты K будет лежать на отрезке CD.

Высота BK делит сторону CD на два отрезка: CK и DK. В условии сказано, что отсчёт ведётся "от вершины тупого угла". На стороне CD вершина C является вершиной острого угла, а вершина D — вершиной тупого угла. Следовательно, отрезок, примыкающий к D, равен 8 см, а другой отрезок равен 12 см. То есть, $DK = 8$ см и $CK = 12$ см.

Сторона ромба a равна длине стороны CD, которую можно найти, сложив длины отрезков CK и DK:
$a = CD = CK + DK = 12 \text{ см} + 8 \text{ см} = 20 \text{ см}$.

Так как все стороны ромба равны, то $BC = a = 20$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник BKC. В нём гипотенуза $BC = 20$ см, а один из катетов $CK = 12$ см. Второй катет BK является высотой ромба (обозначим её как h). Найдём длину высоты по теореме Пифагора:
$BK^2 = BC^2 - CK^2$
$h^2 = 20^2 - 12^2 = 400 - 144 = 256$
$h = \sqrt{256} = 16$ см.

Площадь ромба $S$ вычисляется по формуле произведения стороны на высоту, проведённую к этой стороне:
$S = a \cdot h = CD \cdot BK$
$S = 20 \text{ см} \cdot 16 \text{ см} = 320 \text{ см}^2$.

Ответ: 320 см².