Страница 101 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

276. Найдите площадь равнобокой трапеции, диагонали которой перпендикулярны, а средняя линия трапеции равна 6 см.

276. Найдите площадь равнобокой трапеции, диагонали которой перпендикулярны, а средняя линия трапеции равна 6 см.

Площадь трапеции ($S$) вычисляется по формуле $S = m \cdot h$, где $m$ — средняя линия, а $h$ — высота. По условию задачи, средняя линия $m = 6$ см. Для нахождения площади нам необходимо определить высоту трапеции.

Воспользуемся свойствами равнобокой трапеции, у которой диагонали перпендикулярны.

Пусть основания трапеции равны $a$ и $b$. Проведем высоту трапеции через точку пересечения ее диагоналей. Эта высота будет состоять из двух отрезков, которые являются высотами в двух треугольниках, образованных основаниями и отрезками диагоналей.

Поскольку трапеция равнобокая, эти треугольники являются равнобедренными. А так как диагонали перпендикулярны, то эти треугольники являются равнобедренными прямоугольными треугольниками.

В равнобедренном прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла к гипотенузе, равна половине длины гипотенузы. В нашем случае гипотенузами являются основания трапеции $a$ и $b$.

Таким образом, отрезки, из которых состоит высота трапеции, равны $\frac{a}{2}$ и $\frac{b}{2}$.

Высота всей трапеции $h$ равна сумме длин этих отрезков: $h = \frac{a}{2} + \frac{b}{2} = \frac{a+b}{2}$.

По определению, средняя линия трапеции $m$ также равна полусумме оснований: $m = \frac{a+b}{2}$.

Отсюда следует важное свойство: у равнобокой трапеции с перпендикулярными диагоналями высота равна средней линии, то есть $h = m$.

Так как по условию $m = 6$ см, то и высота $h$ также равна 6 см.

Теперь мы можем вычислить площадь трапеции: $S = m \cdot h = 6 \text{ см} \cdot 6 \text{ см} = 36 \text{ см}^2$.

Можно также записать формулу площади для такого вида трапеций как $S = m^2$. $S = 6^2 = 36 \text{ см}^2$.

Ответ: $36 \text{ см}^2$.

277. Площадь равнобокой трапеции равна 225 см$^2$, а её диагонали перпендикулярны. Найдите среднюю линию трапеции.

277. Площадь равнобокой трапеции равна 225 $\text{см}^2$, а её диагонали перпендикулярны. Найдите среднюю линию трапеции.

Пусть дана равнобокая трапеция с основаниями $a$ и $b$, высотой $h$ и средней линией $m$.

Площадь трапеции вычисляется по формуле: $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$.

Средняя линия трапеции, по определению, равна полусумме ее оснований: $m = \frac{a+b}{2}$.

Следовательно, формулу площади можно переписать через среднюю линию: $S = m \cdot h$.

Для равнобокой трапеции с перпендикулярными диагоналями существует важное свойство, связывающее ее высоту и основания. Если провести высоту через точку пересечения диагоналей, она разделится на два отрезка. Каждый из этих отрезков будет являться высотой в равнобедренном прямоугольном треугольнике, образованном диагоналями и одним из оснований трапеции.

Высота в равнобедренном прямоугольном треугольнике, проведенная из вершины прямого угла к гипотенузе, равна половине длины гипотенузы. В нашем случае гипотенузами являются основания трапеции $a$ и $b$.

Таким образом, высота трапеции $h$ складывается из двух таких высот и равна:

$h = \frac{a}{2} + \frac{b}{2} = \frac{a+b}{2}$.

Сравнивая это выражение с формулой для средней линии, получаем, что для равнобокой трапеции с перпендикулярными диагоналями ее высота равна средней линии:

$h = m$.

Теперь подставим это соотношение в формулу площади:

$S = m \cdot h = m \cdot m = m^2$.

По условию задачи площадь трапеции равна 225 см²:

$m^2 = 225$.

Извлекая квадратный корень, находим длину средней линии:

$m = \sqrt{225} = 15$ см.

Ответ: 15 см.