Страница 107 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 1

Тема. Параллелограмм и его виды

1. Одна из сторон параллелограмма в 5 раз больше другой, а его периметр равен 36 см. Найдите стороны параллелограмма.

2. В прямоугольнике $ABCD$ диагонали пересекаются в точке $O$, $AD = 14$ см, $BD = 18$ см. Найдите периметр треугольника $BOC$.

3. Сторона ромба образует с одной из его диагоналей угол $68^\circ$. Найдите углы ромба.

4. На диагонали $AC$ параллелограмма $ABCD$ отметили точки $P$ и $K$ так, что $AP = CK$ (точка $P$ лежит между точками $A$ и $K$). Докажите, что $\angle ADP = \angle CBK$.

5. В параллелограмме $ABCD$ биссектриса угла $D$ пересекает сторону $AB$ в точке $P$. Отрезок $AP$ меньше отрезка $BP$ в 6 раз. Найдите периметр параллелограмма, если $AB = 14$ см.

6. Прямая, пересекающая диагональ $BD$ параллелограмма $ABCD$ в точке $E$, пересекает его стороны $AB$ и $CD$ в точках $M$ и $K$ соответственно, причём $ME = KE$. Докажите, что четырёхугольник $BKDM$ — параллелограмм.

Контрольная работа № 1

Тема. Параллелограмм и его виды

1. Одна из сторон параллелограмма в 5 раз больше другой, а его периметр равен 36 см. Найдите стороны параллелограмма.

2. В прямоугольнике $ABCD$ диагонали пересекаются в точке $O$, $AD = 14$ см, $BD = 18$ см. Найдите периметр треугольника $BOC$.

3. Сторона ромба образует с одной из его диагоналей угол $68^\circ$. Найдите углы ромба.

4. На диагонали $AC$ параллелограмма $ABCD$ отметили точки $P$ и $K$ так, что $AP = CK$ (точка $P$ лежит между точками $A$ и $K$). Докажите, что $\angle ADP = \angle CBK$.

5. В параллелограмме $ABCD$ биссектриса угла $D$ пересекает сторону $AB$ в точке $P$. Отрезок $AP$ меньше отрезка $BP$ в 6 раз. Найдите периметр параллелограмма, если $AB = 14$ см.

6. Прямая, пересекающая диагональ $BD$ параллелограмма $ABCD$ в точке $E$, пересекает его стороны $AB$ и $CD$ в точках $M$ и $K$ соответственно, причём $ME = KE$. Докажите, что четырёхугольник $BKDM$ — параллелограмм.

1. Пусть одна из сторон параллелограмма равна $x$ см. По условию, другая сторона в 5 раз больше, значит, она равна $5x$ см. Периметр параллелограмма вычисляется по формуле $P = 2(a+b)$, где $a$ и $b$ – смежные стороны. Периметр равен 36 см.

Составим и решим уравнение:
$2(x + 5x) = 36$
$2 \cdot 6x = 36$
$12x = 36$
$x = 36 / 12$
$x = 3$

Таким образом, одна сторона равна 3 см, а вторая – $5 \cdot 3 = 15$ см.

Ответ: стороны параллелограмма равны 3 см и 15 см.

2. В прямоугольнике $ABCD$ диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам. Следовательно, $AC = BD = 18$ см. Точка $O$ делит диагонали пополам, поэтому $BO = OC = BD / 2 = 18 / 2 = 9$ см.

Противоположные стороны прямоугольника равны, поэтому $BC = AD$. По условию $AD = 14$ см, значит, $BC = 14$ см.

Периметр треугольника $BOC$ равен сумме длин его сторон: $P_{\triangle BOC} = BO + OC + BC$.

$P_{\triangle BOC} = 9 + 9 + 14 = 32$ см.

Ответ: 32 см.

3. Пусть дан ромб $ABCD$. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов. Пусть сторона ромба $AB$ образует с диагональю $AC$ угол 68°, то есть $\angle BAC = 68°$.

Так как диагональ $AC$ является биссектрисой угла $\angle BAD$, то $\angle BAD = 2 \cdot \angle BAC = 2 \cdot 68° = 136°$.

Сумма углов, прилежащих к одной стороне ромба (как и любого параллелограмма), равна 180°. Значит, $\angle ABC = 180° - \angle BAD = 180° - 136° = 44°$.

Противоположные углы в ромбе равны, поэтому углы ромба равны 136°, 44°, 136°, 44°.

Ответ: углы ромба равны 44° и 136°.

4. Для доказательства равенства углов $\angle ADP$ и $\angle CBK$ рассмотрим треугольники $\triangle ADP$ и $\triangle CBK$.

По свойствам параллелограмма $ABCD$ имеем:
1. $AD = CB$ (как противоположные стороны параллелограмма).
2. $AD \parallel CB$ (как противоположные стороны параллелограмма).

Поскольку $AD \parallel CB$, то углы $\angle DAC$ и $\angle BCA$ являются накрест лежащими при секущей $AC$, следовательно, $\angle DAC = \angle BCA$. Эти же углы можно обозначить как $\angle DAP$ и $\angle BCK$.

Сравним треугольники $\triangle ADP$ и $\triangle CBK$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними):
• $AD = CB$ (из свойств параллелограмма).
• $AP = CK$ (по условию задачи).
• $\angle DAP = \angle BCK$ (как накрест лежащие).

Следовательно, $\triangle ADP \cong \triangle CBK$. Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих углов, то есть $\angle ADP = \angle CBK$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

5. Пусть $ABCD$ — данный параллелограмм. $DP$ — биссектриса угла $\angle ADC$, точка $P$ лежит на стороне $AB$.

Так как $ABCD$ — параллелограмм, то $AB \parallel CD$. Прямая $DP$ является секущей для этих параллельных прямых. Следовательно, накрест лежащие углы $\angle APD$ и $\angle PDC$ равны.

Поскольку $DP$ — биссектриса угла $\angle ADC$, то $\angle ADP = \angle PDC$.

Из двух полученных равенств следует, что $\angle APD = \angle ADP$. Это означает, что треугольник $\triangle APD$ является равнобедренным с основанием $DP$, и, следовательно, $AD = AP$.

По условию $AB = 14$ см и $BP = 6 \cdot AP$. Сторона $AB$ состоит из отрезков $AP$ и $BP$: $AB = AP + BP$.

Подставим известные данные в это равенство:
$14 = AP + 6 \cdot AP$
$14 = 7 \cdot AP$
$AP = 14 / 7 = 2$ см.

Так как $AD = AP$, то сторона $AD = 2$ см.

Периметр параллелограмма равен $P = 2(AB + AD)$.
$P = 2(14 + 2) = 2 \cdot 16 = 32$ см.

Ответ: 32 см.

6. Для доказательства того, что четырехугольник $BKDM$ является параллелограммом, воспользуемся признаком: если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то это параллелограмм.

Диагонали четырехугольника $BKDM$ — это отрезки $BD$ и $MK$. Они пересекаются в точке $E$. По условию, $ME = KE$, то есть точка $E$ — середина диагонали $MK$. Осталось доказать, что $E$ также является серединой диагонали $BD$, то есть $BE = DE$.

Рассмотрим треугольники $\triangle BME$ и $\triangle DKE$.
1. Поскольку $ABCD$ — параллелограмм, его противоположные стороны $AB$ и $CD$ параллельны. Тогда углы $\angle MBE$ и $\angle KDE$ равны как накрест лежащие при параллельных прямых $AB$, $CD$ и секущей $BD$.
2. Углы $\angle BEM$ и $\angle DEK$ равны как вертикальные.
3. Стороны $ME$ и $KE$ равны по условию задачи.

Следовательно, $\triangle BME = \triangle DKE$ по стороне и двум углам (AAS). Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон: $BE = DE$.

Таким образом, диагонали четырехугольника $BKDM$ в точке пересечения $E$ делятся пополам ($ME = KE$ и $BE = DE$). Следовательно, $BKDM$ — параллелограмм по соответствующему признаку.

Ответ: Что и требовалось доказать.

Контрольная работа № 2

Тема. Средняя линия треугольника. Трапеция. Вписанные и описанные четырёхугольники

1. Стороны треугольника равны 10 см, 12 см и 14 см. Найдите периметр треугольника, вершины которого — середины сторон данного треугольника.

2. Основания трапеции относятся как 4 : 7, а средняя линия равна 44 см. Найдите основания трапеции.

3. Основания трапеции равны 6 см и 12 см. Чему равен периметр трапеции, если в неё можно вписать окружность?

4. Основания равнобокой трапеции равны 8 см и 10 см, а диагональ делит острый угол трапеции пополам. Найдите периметр трапеции.

5. Найдите углы четырёхугольника $ABCD$, вписанного в окружность, если $\angle CBD = 48^\circ$, $\angle ACD = 34^\circ$, $\angle BDC = 64^\circ$.

6. Высота равнобокой трапеции равна 10 см, а её диагонали перпендикулярны. Найдите боковую сторону трапеции, если её периметр равен 48 см.

Контрольная работа № 2

Тема. Средняя линия треугольника. Трапеция. Вписанные и описанные четырёхугольники

1. Стороны треугольника равны 10 см, 12 см и 14 см. Найдите периметр треугольника, вершины которого — середины сторон данного треугольника.

2. Основания трапеции относятся как 4 : 7, а средняя линия равна 44 см. Найдите основания трапеции.

3. Основания трапеции равны 6 см и 12 см. Чему равен периметр трапеции, если в неё можно вписать окружность?

4. Основания равнобокой трапеции равны 8 см и 10 см, а диагональ делит острый угол трапеции пополам. Найдите периметр трапеции.

5. Найдите углы четырёхугольника ABCD, вписанного в окружность, если $\angle CBD = 48^\circ$, $\angle ACD = 34^\circ$, $\angle BDC = 64^\circ$.

6. Высота равнобокой трапеции равна 10 см, а её диагонали перпендикулярны. Найдите боковую сторону трапеции, если её периметр равен 48 см.

1. Пусть стороны данного треугольника равны $a = 10$ см, $b = 12$ см и $c = 14$ см. Треугольник, вершины которого являются серединами сторон данного треугольника, образован средними линиями исходного треугольника. По свойству средней линии, её длина равна половине длины стороны, которой она параллельна.
Следовательно, стороны нового треугольника равны:
$a' = a/2 = 10/2 = 5$ см;
$b' = b/2 = 12/2 = 6$ см;
$c' = c/2 = 14/2 = 7$ см.
Периметр этого треугольника равен сумме длин его сторон:
$P' = a' + b' + c' = 5 + 6 + 7 = 18$ см.
Ответ: 18 см.

2. Пусть основания трапеции равны $a$ и $b$. Согласно условию, их отношение $a:b = 4:7$. Можно представить их как $a = 4x$ и $b = 7x$ для некоторого коэффициента $x$.
Средняя линия трапеции $m$ находится по формуле $m = (a+b)/2$.
Подставим известные значения:
$44 = (4x + 7x) / 2$
$44 = 11x / 2$
$88 = 11x$
$x = 88 / 11 = 8$.
Теперь найдём длины оснований:
$a = 4x = 4 \cdot 8 = 32$ см.
$b = 7x = 7 \cdot 8 = 56$ см.
Ответ: 32 см и 56 см.

3. Пусть основания трапеции равны $a = 6$ см и $b = 12$ см, а боковые стороны — $c$ и $d$.
По свойству описанного четырёхугольника, суммы длин его противоположных сторон равны. Для трапеции это означает, что сумма оснований равна сумме боковых сторон: $a+b = c+d$.
Найдём сумму оснований:
$a + b = 6 + 12 = 18$ см.
Следовательно, сумма боковых сторон также равна 18 см: $c + d = 18$ см.
Периметр трапеции $P$ — это сумма длин всех её сторон:
$P = (a + b) + (c + d) = 18 + 18 = 36$ см.
Ответ: 36 см.

4. Пусть дана равнобокая трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. По условию, $BC = 8$ см и $AD = 10$ см. Диагональ $AC$ является биссектрисой острого угла $\angle BAD$, поэтому $\angle BAC = \angle CAD$.
Так как $BC \parallel AD$, то углы $\angle BCA$ и $\angle CAD$ равны как накрест лежащие углы при секущей $AC$.
Из этого следует, что $\angle BAC = \angle BCA$. Значит, треугольник $ABC$ является равнобедренным, и $AB = BC$.
Так как $BC = 8$ см, то боковая сторона $AB = 8$ см.
Поскольку трапеция равнобокая, её боковые стороны равны: $CD = AB = 8$ см.
Периметр трапеции равен сумме длин всех сторон:
$P = AB + BC + CD + AD = 8 + 8 + 8 + 10 = 34$ см.
Ответ: 34 см.

5. Используем свойство вписанных углов, которые опираются на одну и ту же дугу — они равны.
1. Углы $\angle CAD$ и $\angle CBD$ опираются на дугу $CD$, значит $\angle CAD = \angle CBD = 48^\circ$.
2. Углы $\angle ABD$ и $\angle ACD$ опираются на дугу $AD$, значит $\angle ABD = \angle ACD = 34^\circ$.
3. Углы $\angle BAC$ и $\angle BDC$ опираются на дугу $BC$, значит $\angle BAC = \angle BDC = 64^\circ$.
Теперь можем найти углы четырёхугольника $ABCD$:
$\angle A = \angle DAB = \angle CAD + \angle BAC = 48^\circ + 64^\circ = 112^\circ$.
$\angle B = \angle ABC = \angle ABD + \angle CBD = 34^\circ + 48^\circ = 82^\circ$.
Сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника равна $180^\circ$.
$\angle C = 180^\circ - \angle A = 180^\circ - 112^\circ = 68^\circ$.
$\angle D = 180^\circ - \angle B = 180^\circ - 82^\circ = 98^\circ$.
Ответ: $\angle A = 112^\circ$, $\angle B = 82^\circ$, $\angle C = 68^\circ$, $\angle D = 98^\circ$.

6. В равнобокой трапеции, диагонали которой перпендикулярны, высота равна средней линии.
По условию, высота $h = 10$ см, значит, и средняя линия $m = 10$ см.
Средняя линия трапеции равна полусумме оснований: $m = (a+b)/2$.
Отсюда сумма оснований $a + b = 2m = 2 \cdot 10 = 20$ см.
Периметр равнобокой трапеции равен $P = a + b + 2c$, где $c$ - длина боковой стороны.
По условию, периметр $P = 48$ см.
Подставим известные значения в формулу периметра:
$48 = 20 + 2c$
$2c = 48 - 20$
$2c = 28$
$c = 14$ см.
Ответ: 14 см.