Номер 2, страница 107 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 2

Тема. Средняя линия треугольника. Трапеция. Вписанные и описанные четырёхугольники

1. Стороны треугольника равны 10 см, 12 см и 14 см. Найдите периметр треугольника, вершины которого — середины сторон данного треугольника.

2. Основания трапеции относятся как 4 : 7, а средняя линия равна 44 см. Найдите основания трапеции.

3. Основания трапеции равны 6 см и 12 см. Чему равен периметр трапеции, если в неё можно вписать окружность?

4. Основания равнобокой трапеции равны 8 см и 10 см, а диагональ делит острый угол трапеции пополам. Найдите периметр трапеции.

5. Найдите углы четырёхугольника $ABCD$, вписанного в окружность, если $\angle CBD = 48^\circ$, $\angle ACD = 34^\circ$, $\angle BDC = 64^\circ$.

6. Высота равнобокой трапеции равна 10 см, а её диагонали перпендикулярны. Найдите боковую сторону трапеции, если её периметр равен 48 см.

Контрольная работа № 2

Тема. Средняя линия треугольника. Трапеция. Вписанные и описанные четырёхугольники

1. Стороны треугольника равны 10 см, 12 см и 14 см. Найдите периметр треугольника, вершины которого — середины сторон данного треугольника.

2. Основания трапеции относятся как 4 : 7, а средняя линия равна 44 см. Найдите основания трапеции.

3. Основания трапеции равны 6 см и 12 см. Чему равен периметр трапеции, если в неё можно вписать окружность?

4. Основания равнобокой трапеции равны 8 см и 10 см, а диагональ делит острый угол трапеции пополам. Найдите периметр трапеции.

5. Найдите углы четырёхугольника ABCD, вписанного в окружность, если $\angle CBD = 48^\circ$, $\angle ACD = 34^\circ$, $\angle BDC = 64^\circ$.

6. Высота равнобокой трапеции равна 10 см, а её диагонали перпендикулярны. Найдите боковую сторону трапеции, если её периметр равен 48 см.

1. Пусть стороны данного треугольника равны $a = 10$ см, $b = 12$ см и $c = 14$ см. Треугольник, вершины которого являются серединами сторон данного треугольника, образован средними линиями исходного треугольника. По свойству средней линии, её длина равна половине длины стороны, которой она параллельна.
Следовательно, стороны нового треугольника равны:
$a' = a/2 = 10/2 = 5$ см;
$b' = b/2 = 12/2 = 6$ см;
$c' = c/2 = 14/2 = 7$ см.
Периметр этого треугольника равен сумме длин его сторон:
$P' = a' + b' + c' = 5 + 6 + 7 = 18$ см.
Ответ: 18 см.

2. Пусть основания трапеции равны $a$ и $b$. Согласно условию, их отношение $a:b = 4:7$. Можно представить их как $a = 4x$ и $b = 7x$ для некоторого коэффициента $x$.
Средняя линия трапеции $m$ находится по формуле $m = (a+b)/2$.
Подставим известные значения:
$44 = (4x + 7x) / 2$
$44 = 11x / 2$
$88 = 11x$
$x = 88 / 11 = 8$.
Теперь найдём длины оснований:
$a = 4x = 4 \cdot 8 = 32$ см.
$b = 7x = 7 \cdot 8 = 56$ см.
Ответ: 32 см и 56 см.

3. Пусть основания трапеции равны $a = 6$ см и $b = 12$ см, а боковые стороны — $c$ и $d$.
По свойству описанного четырёхугольника, суммы длин его противоположных сторон равны. Для трапеции это означает, что сумма оснований равна сумме боковых сторон: $a+b = c+d$.
Найдём сумму оснований:
$a + b = 6 + 12 = 18$ см.
Следовательно, сумма боковых сторон также равна 18 см: $c + d = 18$ см.
Периметр трапеции $P$ — это сумма длин всех её сторон:
$P = (a + b) + (c + d) = 18 + 18 = 36$ см.
Ответ: 36 см.

4. Пусть дана равнобокая трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. По условию, $BC = 8$ см и $AD = 10$ см. Диагональ $AC$ является биссектрисой острого угла $\angle BAD$, поэтому $\angle BAC = \angle CAD$.
Так как $BC \parallel AD$, то углы $\angle BCA$ и $\angle CAD$ равны как накрест лежащие углы при секущей $AC$.
Из этого следует, что $\angle BAC = \angle BCA$. Значит, треугольник $ABC$ является равнобедренным, и $AB = BC$.
Так как $BC = 8$ см, то боковая сторона $AB = 8$ см.
Поскольку трапеция равнобокая, её боковые стороны равны: $CD = AB = 8$ см.
Периметр трапеции равен сумме длин всех сторон:
$P = AB + BC + CD + AD = 8 + 8 + 8 + 10 = 34$ см.
Ответ: 34 см.

5. Используем свойство вписанных углов, которые опираются на одну и ту же дугу — они равны.
1. Углы $\angle CAD$ и $\angle CBD$ опираются на дугу $CD$, значит $\angle CAD = \angle CBD = 48^\circ$.
2. Углы $\angle ABD$ и $\angle ACD$ опираются на дугу $AD$, значит $\angle ABD = \angle ACD = 34^\circ$.
3. Углы $\angle BAC$ и $\angle BDC$ опираются на дугу $BC$, значит $\angle BAC = \angle BDC = 64^\circ$.
Теперь можем найти углы четырёхугольника $ABCD$:
$\angle A = \angle DAB = \angle CAD + \angle BAC = 48^\circ + 64^\circ = 112^\circ$.
$\angle B = \angle ABC = \angle ABD + \angle CBD = 34^\circ + 48^\circ = 82^\circ$.
Сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника равна $180^\circ$.
$\angle C = 180^\circ - \angle A = 180^\circ - 112^\circ = 68^\circ$.
$\angle D = 180^\circ - \angle B = 180^\circ - 82^\circ = 98^\circ$.
Ответ: $\angle A = 112^\circ$, $\angle B = 82^\circ$, $\angle C = 68^\circ$, $\angle D = 98^\circ$.

6. В равнобокой трапеции, диагонали которой перпендикулярны, высота равна средней линии.
По условию, высота $h = 10$ см, значит, и средняя линия $m = 10$ см.
Средняя линия трапеции равна полусумме оснований: $m = (a+b)/2$.
Отсюда сумма оснований $a + b = 2m = 2 \cdot 10 = 20$ см.
Периметр равнобокой трапеции равен $P = a + b + 2c$, где $c$ - длина боковой стороны.
По условию, периметр $P = 48$ см.
Подставим известные значения в формулу периметра:
$48 = 20 + 2c$
$2c = 48 - 20$
$2c = 28$
$c = 14$ см.
Ответ: 14 см.