Номер 6, страница 105 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 6

Тема. Многоугольники. Площадь многоугольника

1. Чему равна сумма углов выпуклого четырнадцатиугольника?

2. Площадь параллелограмма равна $84\text{ см}^2$, а одна из его сторон — 12 см. Найдите высоту параллелограмма, проведённую к этой стороне.

3. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 15 см, а высота, проведённая к основанию, — 9 см. Найдите площадь треугольника.

4. Найдите площадь ромба, сторона которого равна 26 см, а одна из диагоналей на 28 см больше другой.

5. Боковая сторона равнобокой трапеции равна $10\sqrt{2}\text{ см}$ и образует с основанием угол $45^\circ$. Найдите площадь трапеции, если в неё можно вписать окружность.

6. Биссектриса прямого угла прямоугольного треугольника делит гипотенузу на отрезки длиной 15 см и 20 см. Найдите площадь треугольника.

Контрольная работа № 6

Тема. Многоугольники. Площадь многоугольника

1. Чему равна сумма углов выпуклого четырнадцати-угольника?

2. Площадь параллелограмма равна $84 см^2$, а одна из его сторон — $12 см$. Найдите высоту параллелограмма, проведённую к этой стороне.

3. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна $15 см$, а высота, проведённая к основанию, — $9 см$. Найдите площадь треугольника.

4. Найдите площадь ромба, сторона которого равна $26 см$, а одна из диагоналей на $28 см$ больше другой.

5. Боковая сторона равнобокой трапеции равна $10\sqrt{2} см$ и образует с основанием угол $45^\circ$. Найдите площадь трапеции, если в неё можно вписать окружность.

6. Биссектриса прямого угла прямоугольного треугольника делит гипотенузу на отрезки длиной $15 см$ и $20 см$. Найдите площадь треугольника.

1.

Сумма углов выпуклого n-угольника вычисляется по формуле $S_n = (n-2) \cdot 180^\circ$, где $n$ — количество сторон многоугольника.

Для четырнадцатиугольника $n = 14$.

Подставим это значение в формулу:

$S_{14} = (14-2) \cdot 180^\circ = 12 \cdot 180^\circ = 2160^\circ$.

Ответ: $2160^\circ$.

2.

Площадь параллелограмма ($S$) равна произведению его стороны ($a$) на высоту ($h$), проведённую к этой стороне: $S = a \cdot h$.

По условию, площадь $S = 84 \text{ см}^2$, а сторона $a = 12 \text{ см}$.

Выразим высоту из формулы:

$h = \frac{S}{a}$

Подставим известные значения:

$h = \frac{84}{12} = 7 \text{ см}$.

Ответ: 7 см.

3.

Пусть дан равнобедренный треугольник, у которого боковая сторона равна 15 см, а высота, проведённая к основанию, равна 9 см. Эта высота делит равнобедренный треугольник на два равных прямоугольных треугольника. В каждом из этих прямоугольных треугольников гипотенузой является боковая сторона (15 см), одним из катетов — высота (9 см), а вторым катетом — половина основания.

Найдем половину основания по теореме Пифагора ($a^2 + b^2 = c^2$):

$(\frac{\text{основание}}{2})^2 + 9^2 = 15^2$

$(\frac{\text{основание}}{2})^2 + 81 = 225$

$(\frac{\text{основание}}{2})^2 = 225 - 81 = 144$

$\frac{\text{основание}}{2} = \sqrt{144} = 12 \text{ см}$.

Следовательно, длина всего основания равна $12 \cdot 2 = 24 \text{ см}$.

Площадь треугольника ($S$) вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$.

$S = \frac{1}{2} \cdot 24 \cdot 9 = 12 \cdot 9 = 108 \text{ см}^2$.

Ответ: 108 см².

4.

Диагонали ромба перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам. Сторона ромба и половины его диагоналей образуют прямоугольный треугольник.

Пусть одна диагональ ромба равна $d_1$, а вторая $d_2$. По условию, $d_1 = d_2 + 28$. Сторона ромба $a = 26$ см.

По теореме Пифагора для треугольника, образованного половинами диагоналей и стороной ромба:

$(\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2 = a^2$

Подставим известные значения и выражения:

$(\frac{d_2 + 28}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2 = 26^2$

$\frac{(d_2 + 28)^2}{4} + \frac{d_2^2}{4} = 676$

$d_2^2 + 56d_2 + 784 + d_2^2 = 2704$

$2d_2^2 + 56d_2 - 1920 = 0$

Разделим уравнение на 2:

$d_2^2 + 28d_2 - 960 = 0$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = 28^2 - 4(1)(-960) = 784 + 3840 = 4624 = 68^2$.

$d_2 = \frac{-28 \pm 68}{2}$. Так как длина не может быть отрицательной, выбираем положительный корень:

$d_2 = \frac{-28 + 68}{2} = \frac{40}{2} = 20 \text{ см}$.

Тогда первая диагональ $d_1 = 20 + 28 = 48 \text{ см}$.

Площадь ромба ($S$) равна половине произведения его диагоналей: $S = \frac{1}{2} d_1 d_2$.

$S = \frac{1}{2} \cdot 48 \cdot 20 = 480 \text{ см}^2$.

Ответ: 480 см².

5.

В трапецию можно вписать окружность тогда и только тогда, когда сумма её оснований равна сумме боковых сторон. Так как трапеция равнобокая, её боковые стороны равны $10\sqrt{2}$ см.

Пусть основания трапеции $a$ и $b$. Тогда $a+b = 10\sqrt{2} + 10\sqrt{2} = 20\sqrt{2}$ см.

Площадь трапеции ($S$) вычисляется по формуле $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где $h$ — высота.

Проведём высоту из вершины тупого угла к большему основанию. Получим прямоугольный треугольник, в котором гипотенуза — это боковая сторона ($10\sqrt{2}$ см), один из острых углов равен $45^\circ$, а противолежащий ему катет — это высота трапеции $h$.

$h = \text{гипотенуза} \cdot \sin(45^\circ) = 10\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{10 \cdot 2}{2} = 10 \text{ см}$.

Теперь можем найти площадь трапеции:

$S = \frac{20\sqrt{2}}{2} \cdot 10 = 10\sqrt{2} \cdot 10 = 100\sqrt{2} \text{ см}^2$.

Ответ: $100\sqrt{2}$ см².

6.

Пусть дан прямоугольный треугольник с катетами $a$ и $b$ и гипотенузой $c$. Биссектриса прямого угла делит гипотенузу на отрезки $m = 15$ см и $n = 20$ см.

Длина гипотенузы $c = m + n = 15 + 20 = 35$ см.

По свойству биссектрисы треугольника, она делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам:

$\frac{a}{b} = \frac{n}{m} = \frac{20}{15} = \frac{4}{3}$.

Отсюда $a = \frac{4}{3}b$.

По теореме Пифагора: $a^2 + b^2 = c^2$.

Подставим выражение для $a$ и значение $c$:

$(\frac{4}{3}b)^2 + b^2 = 35^2$

$\frac{16}{9}b^2 + b^2 = 1225$

$\frac{25}{9}b^2 = 1225$

$b^2 = \frac{1225 \cdot 9}{25} = 49 \cdot 9 = 441$

$b = \sqrt{441} = 21 \text{ см}$.

Тогда катет $a = \frac{4}{3} \cdot 21 = 4 \cdot 7 = 28 \text{ см}$.

Площадь прямоугольного треугольника ($S$) равна половине произведения его катетов:

$S = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2} \cdot 28 \cdot 21 = 14 \cdot 21 = 294 \text{ см}^2$.

Ответ: 294 см².