Страница 104 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 4

Тема. Метрические соотношения

в прямоугольном треугольнике. Теорема Пифагора

1. Высота прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, делит её на отрезки длиной 9 см и 16 см. Найдите меньший катет треугольника.

2. В прямоугольном треугольнике гипотенузе равна 13 см, а один из катетов — 12 см. Найдите периметр треугольника.

3. Диагонали ромба равны 12 см и 16 см. Найдите сторону ромба.

4. Высота $BM$ равнобедренного треугольника $ABC$ ($AB = AC$) делит сторону $AC$ на отрезки $AM = 15$ см и $CM = 2$ см. Найдите основание треугольника $ABC$.

5. Из точки к прямой проведены две наклонные, проекции которых на прямую равны 9 см и 16 см. Найдите расстояние от точки до прямой, если одна из наклонных на 5 см больше другой.

6. Окружность, вписанная в прямоугольную трапецию, делит точкой касания большую боковую сторону на отрезки длиной 4 см и 25 см. Найдите высоту трапеции.

Контрольная работа № 4

Тема. Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике. Теорема Пифагора

1. Высота прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, делит её на отрезки длиной 9 см и 16 см. Найдите меньший катет треугольника.

2. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 13 см, а один из катетов — 12 см. Найдите периметр треугольника.

3. Диагонали ромба равны 12 см и 16 см. Найдите сторону ромба.

4. Высота BM равнобедренного треугольника ABC ($AB = AC$) делит сторону AC на отрезки $AM = 15$ см и $CM = 2$ см. Найдите основание треугольника ABC.

5. Из точки к прямой проведены две наклонные, проекции которых на прямую равны 9 см и 16 см. Найдите расстояние от точки до прямой, если одна из наклонных на 5 см больше другой.

6. Окружность, вписанная в прямоугольную трапецию, делит точку касания большую боковую сторону на отрезки длиной 4 см и 25 см. Найдите высоту трапеции.

1. Пусть катеты прямоугольного треугольника будут $a$ и $b$, а гипотенуза $c$. Высота, проведенная к гипотенузе, делит ее на отрезки $c_a = 9$ см и $c_b = 16$ см, которые являются проекциями катетов $a$ и $b$ на гипотенузу соответственно.
Длина гипотенузы равна сумме длин ее отрезков: $c = c_a + c_b = 9 + 16 = 25$ см.
Согласно метрическим соотношениям в прямоугольном треугольнике, квадрат катета равен произведению гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу:
$a^2 = c \cdot c_a$
$b^2 = c \cdot c_b$
Вычислим длины обоих катетов:
$a^2 = 25 \cdot 9 = 225 \implies a = \sqrt{225} = 15$ см.
$b^2 = 25 \cdot 16 = 400 \implies b = \sqrt{400} = 20$ см.
Меньший катет имеет длину 15 см.
Ответ: 15 см.

2. Пусть в прямоугольном треугольнике гипотенуза $c = 13$ см, один из катетов $a = 12$ см. Найдем второй катет $b$ по теореме Пифагора: $a^2 + b^2 = c^2$.
$12^2 + b^2 = 13^2$
$144 + b^2 = 169$
$b^2 = 169 - 144 = 25$
$b = \sqrt{25} = 5$ см.
Периметр треугольника $P$ равен сумме длин всех его сторон:
$P = a + b + c = 12 + 5 + 13 = 30$ см.
Ответ: 30 см.

3. Диагонали ромба $d_1 = 12$ см и $d_2 = 16$ см взаимно перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам. Они делят ромб на четыре одинаковых прямоугольных треугольника.
Катетами каждого такого треугольника являются половины диагоналей:
$\frac{d_1}{2} = \frac{12}{2} = 6$ см.
$\frac{d_2}{2} = \frac{16}{2} = 8$ см.
Сторона ромба $a$ является гипотенузой в этих треугольниках. Найдем ее по теореме Пифагора:
$a^2 = (\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$.
$a = \sqrt{100} = 10$ см.
Ответ: 10 см.

4. В равнобедренном треугольнике $ABC$ боковые стороны равны: $AB = AC$. Высота $BM$ делит сторону $AC$ на отрезки $AM = 15$ см и $CM = 2$ см.
Длина стороны $AC = AM + CM = 15 + 2 = 17$ см.
Следовательно, $AB = AC = 17$ см.
Высота $BM$ перпендикулярна стороне $AC$, поэтому треугольник $ABM$ — прямоугольный. По теореме Пифагора найдем длину высоты $BM$:
$AB^2 = AM^2 + BM^2$
$17^2 = 15^2 + BM^2$
$289 = 225 + BM^2$
$BM^2 = 289 - 225 = 64$
$BM = \sqrt{64} = 8$ см.
Рассмотрим треугольник $BMC$. Он также является прямоугольным, так как $\angle BMC = 90^\circ$. Основание $BC$ является его гипотенузой. Найдем $BC$ по теореме Пифагора:
$BC^2 = BM^2 + CM^2 = 8^2 + 2^2 = 64 + 4 = 68$.
$BC = \sqrt{68} = \sqrt{4 \cdot 17} = 2\sqrt{17}$ см.
Ответ: $2\sqrt{17}$ см.

5. Пусть из точки к прямой проведен перпендикуляр $h$ (искомое расстояние) и две наклонные $l_1$ и $l_2$. Проекции этих наклонных равны $p_1 = 9$ см и $p_2 = 16$ см. По условию, одна наклонная на 5 см больше другой, пусть $l_2 = l_1 + 5$.
Для каждой наклонной, ее проекции и перпендикуляра можно применить теорему Пифагора:
$l_1^2 = h^2 + p_1^2 = h^2 + 9^2 = h^2 + 81$
$l_2^2 = h^2 + p_2^2 = h^2 + 16^2 = h^2 + 256$
Подставим $l_2 = l_1 + 5$ во второе уравнение:
$(l_1 + 5)^2 = h^2 + 256$
$l_1^2 + 10l_1 + 25 = h^2 + 256$
Теперь подставим в это уравнение выражение для $l_1^2$ из первого уравнения ($l_1^2 = h^2 + 81$):
$(h^2 + 81) + 10l_1 + 25 = h^2 + 256$
$h^2 + 10l_1 + 106 = h^2 + 256$
$10l_1 = 256 - 106$
$10l_1 = 150 \implies l_1 = 15$ см.
Теперь найдем $h$ из первого уравнения:
$15^2 = h^2 + 81$
$225 = h^2 + 81$
$h^2 = 225 - 81 = 144$
$h = \sqrt{144} = 12$ см.
Ответ: 12 см.

6. Пусть дана прямоугольная трапеция, в которую вписана окружность. Высота трапеции $h$ равна диаметру вписанной окружности, т.е. $h = 2r$, где $r$ — радиус окружности.
Пусть большая боковая сторона трапеции $c$ делится точкой касания на отрезки длиной 4 см и 25 см.
Рассмотрим треугольник, образованный центром окружности $O$ и концами большей боковой стороны $C$ и $D$. Этот треугольник $COD$ является прямоугольным, так как его стороны $OC$ и $OD$ являются биссектрисами внутренних односторонних углов при параллельных основаниях трапеции, сумма которых равна $180^\circ$.
Высота этого прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла $O$ к гипотенузе $CD$, является радиусом вписанной окружности $r$.
По свойству высоты в прямоугольном треугольнике, она является средним геометрическим отрезков, на которые она делит гипотенузу. Этими отрезками являются данные в условии отрезки боковой стороны.
$r^2 = 4 \cdot 25 = 100$
$r = \sqrt{100} = 10$ см.
Высота трапеции равна диаметру окружности:
$h = 2r = 2 \cdot 10 = 20$ см.
Ответ: 20 см.

Контрольная работа № 5

Тема. Тригонометрические функции острого угла

прямоугольного треугольника.

Решение прямоугольных треугольников

1. В треугольнике $ABC$ известно, что $\angle C = 90^\circ$, $AB = 25$ см, $BC = 20$ см. Найдите:

1) $cosB$

2) $tgA$.

2. В прямоугольном треугольнике $ABC$ ($\angle C = 90^\circ$) известно, что $AB = 15$ см, $sinA = 0,6$. Найдите катет $BC$.

3. Найдите значение выражения $sin^2 16^\circ + cos^2 16^\circ - sin^2 60^\circ$.

4. Основание равнобедренного треугольника равно 12 см, а высота, проведённая к основанию, — 8 см. Найдите синус, косинус, тангенс и котангенс угла при основании треугольника.

5. Высота $BD$ треугольника $ABC$ делит сторону $AC$ на отрезки $AD$ и $CD$, $BC = 6$ см, $\angle A = 30^\circ$, $\angle CBD = 45^\circ$. Найдите отрезок $AD$.

6. Диагональ равнобокой трапеции перпендикулярна боковой стороне и образует с основанием трапеции угол $\alpha$. Найдите высоту трапеции, если радиус окружности, описанной около трапеции, равен $R$.

Контрольная работа № 5

Тема. Тригонометрические функции острого угла прямоугольного треугольника.

Решение прямоугольных треугольников

1. В треугольнике $ABC$ известно, что $\angle C = 90^\circ$, $AB = 25$ см, $BC = 20$ см. Найдите:

1) $cos B$;

2) $tg A$.

2. В прямоугольном треугольнике $ABC$ ($\angle C = 90^\circ$) известно, что $AB = 15$ см, $sin A = 0,6$. Найдите катет $BC$.

3. Найдите значение выражения $sin^2 16^\circ + cos^2 16^\circ - sin^2 60^\circ$.

4. Основание равнобедренного треугольника равно 12 см, а высота, проведённая к основанию, — 8 см. Найдите синус, косинус, тангенс и котангенс угла при основании треугольника.

5. Высота $BD$ треугольника $ABC$ делит сторону $AC$ на отрезки $AD$ и $CD$, $BC = 6$ см, $\angle A = 30^\circ$, $\angle CBD = 45^\circ$. Найдите отрезок $AD$.

6. Диагональ равнобокой трапеции перпендикулярна боковой стороне и образует с основанием трапеции угол $\alpha$. Найдите высоту трапеции, если радиус окружности, описанной около трапеции, равен $R$.

1.

Дано: треугольник ABC, $\angle C = 90^\circ$, $AB = 25$ см (гипотенуза), $BC = 20$ см (катет).

Для решения обоих подпунктов сначала найдем катет AC по теореме Пифагора: $AC^2 + BC^2 = AB^2$.

$AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{25^2 - 20^2} = \sqrt{625 - 400} = \sqrt{225} = 15$ см.

1) cosB

Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение прилежащего катета к гипотенузе.

$cosB = \frac{BC}{AB} = \frac{20}{25} = \frac{4}{5} = 0.8$.

Ответ: $0.8$.

2) tgA

Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к прилежащему.

$tgA = \frac{BC}{AC} = \frac{20}{15} = \frac{4}{3}$.

Ответ: $\frac{4}{3}$.

2.

В прямоугольном треугольнике ABC синус угла A определяется как отношение противолежащего катета BC к гипотенузе AB: $sinA = \frac{BC}{AB}$.

Отсюда катет BC можно выразить как $BC = AB \cdot sinA$.

Подставим известные значения: $BC = 15 \cdot 0.6 = 9$ см.

Ответ: $9$ см.

3.

Используем основное тригонометрическое тождество $sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1$. Применив его для $\alpha = 16^\circ$, получим $sin^216^\circ + cos^216^\circ = 1$.

Теперь исходное выражение можно упростить:

$sin^216^\circ + cos^216^\circ - sin^260^\circ = 1 - sin^260^\circ$.

Значение синуса 60 градусов является табличным: $sin60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Тогда $sin^260^\circ = (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = \frac{3}{4}$.

Вычисляем окончательное значение: $1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$.

Ответ: $\frac{1}{4}$.

4.

Пусть дан равнобедренный треугольник ABC с основанием AC = 12 см и высотой BH = 8 см, проведенной к основанию.

В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой. Следовательно, она делит основание AC пополам: $AH = HC = \frac{12}{2} = 6$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH (угол $\angle AHB = 90^\circ$). Нам нужно найти тригонометрические функции угла при основании, то есть угла A.

Найдем боковую сторону AB (гипотенузу в треугольнике ABH) по теореме Пифагора:

$AB = \sqrt{AH^2 + BH^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$ см.

Теперь можем найти тригонометрические функции угла A:

Синус: $sinA = \frac{BH}{AB} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$.

Косинус: $cosA = \frac{AH}{AB} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$.

Тангенс: $tgA = \frac{BH}{AH} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$.

Котангенс: $ctgA = \frac{AH}{BH} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$.

Ответ: синус равен $\frac{4}{5}$, косинус равен $\frac{3}{5}$, тангенс равен $\frac{4}{3}$, котангенс равен $\frac{3}{4}$.

5.

Так как BD - высота, треугольники ABD и CBD являются прямоугольными ($\angle BDA = \angle BDC = 90^\circ$).

Рассмотрим прямоугольный треугольник CBD. Известно, что $\angle CBD = 45^\circ$. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°, поэтому $\angle BCD = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$.

Поскольку углы при гипотенузе BC равны, треугольник CBD является равнобедренным, и $BD = CD$.

Найдем длину катета BD из треугольника CBD. $cos(\angle CBD) = \frac{BD}{BC}$.

$BD = BC \cdot cos(45^\circ) = 6 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник ABD. Нам известен катет BD и угол $\angle A = 30^\circ$.

Тангенс угла A определяется как $tgA = \frac{BD}{AD}$.

Отсюда $AD = \frac{BD}{tgA}$.

Подставим известные значения: $AD = \frac{3\sqrt{2}}{tg30^\circ}$.

Так как $tg30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}$, получаем:

$AD = \frac{3\sqrt{2}}{1/\sqrt{3}} = 3\sqrt{2} \cdot \sqrt{3} = 3\sqrt{6}$ см.

Ответ: $3\sqrt{6}$ см.

6.

Пусть дана равнобокая трапеция ABCD, вписанная в окружность радиуса R. Пусть AD - большее основание, AC - диагональ. По условию $AC \perp CD$ (диагональ перпендикулярна боковой стороне), следовательно, $\angle ACD = 90^\circ$. Также по условию диагональ образует с основанием угол $\alpha$, то есть $\angle CAD = \alpha$.

Рассмотрим треугольник ACD. Он вписан в ту же окружность, что и трапеция. Так как угол $\angle ACD$ прямой, он опирается на диаметр окружности. Следовательно, гипотенуза AD является диаметром описанной окружности.

$AD = 2R$.

Проведем высоту трапеции CH из вершины C к основанию AD. Длина CH и есть искомая высота h.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ACD. Найдем в нем боковую сторону CD.

$sin(\angle CAD) = \frac{CD}{AD} \Rightarrow CD = AD \cdot sin\alpha = 2R sin\alpha$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник CHD ($\angle CHD = 90^\circ$).

Угол $\angle ADC$ трапеции найдем из прямоугольного треугольника ACD: $\angle ADC = 90^\circ - \angle CAD = 90^\circ - \alpha$.

В треугольнике CHD катет CH (высота трапеции) противолежит углу $\angle CDH = \angle ADC$.

$sin(\angle CDH) = \frac{CH}{CD} \Rightarrow CH = CD \cdot sin(\angle CDH)$.

Подставим найденные значения:

$h = (2R sin\alpha) \cdot sin(90^\circ - \alpha)$.

Используя формулу приведения $sin(90^\circ - \alpha) = cos\alpha$, получаем:

$h = 2R sin\alpha cos\alpha$.

Применяя формулу синуса двойного угла $sin(2\alpha) = 2sin\alpha cos\alpha$, окончательно находим:

$h = R sin(2\alpha)$.

Ответ: $R sin(2\alpha)$.