Страница 110 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 6

Тема. Многоугольники. Площадь многоугольника

1. Чему равна сумма углов выпуклого восемнадцатиугольника?

2. Площадь параллелограмма равна $98\text{ см}^2$, а одна из его высот — $14\text{ см}$. Найдите сторону параллелограмма, к которой проведена эта высота.

3. Основание равнобедренного треугольника равно $16\text{ см}$, а боковая сторона — $17\text{ см}$. Найдите площадь треугольника.

4. Найдите площадь ромба, сторона которого равна $50\text{ см}$, а разность диагоналей — $20\text{ см}$.

5. Боковая сторона равнобокой трапеции образует с основанием угол $60^\circ$, а высота трапеции равна $6\sqrt{3}\text{ см}$. Найдите площадь трапеции, если в неё можно вписать окружность.

6. Биссектриса острого угла прямоугольного треугольника делит катет на отрезки длиной $6\text{ см}$ и $10\text{ см}$. Найдите площадь треугольника.

Контрольная работа № 6

Тема. Многоугольники. Площадь многоугольника

1. Чему равна сумма углов выпуклого восемнадцатиугольника?

2. Площадь параллелограмма равна $98\text{ см}^2$, а одна из его высот — 14 см. Найдите сторону параллелограмма, к которой проведена эта высота.

3. Основание равнобедренного треугольника равно 16 см, а боковая сторона — 17 см. Найдите площадь треугольника.

4. Найдите площадь ромба, сторона которого равна 50 см, а разность диагоналей — 20 см.

5. Боковая сторона равнобокой трапеции образует с основанием угол $60^\circ$, а высота трапеции равна $6\sqrt{3}$ см. Найдите площадь трапеции, если в неё можно вписать окружность.

6. Биссектриса острого угла прямоугольного треугольника делит катет на отрезки длиной 6 см и 10 см. Найдите площадь треугольника.

1. Сумма внутренних углов выпуклого n-угольника вычисляется по формуле: $S_n = 180^\circ \cdot (n-2)$. Для восемнадцатиугольника количество сторон $n = 18$. Подставим значение в формулу: $S_{18} = 180^\circ \cdot (18-2) = 180^\circ \cdot 16 = 2880^\circ$.
Ответ: $2880^\circ$.

2. Площадь параллелограмма ($S$) равна произведению его стороны ($a$) на высоту ($h$), проведенную к этой стороне: $S = a \cdot h$. По условию, площадь $S = 98 \text{ см}^2$, а высота $h = 14 \text{ см}$. Чтобы найти сторону, к которой проведена эта высота, нужно площадь разделить на длину высоты: $a = \frac{S}{h} = \frac{98}{14} = 7 \text{ см}$.
Ответ: $7 \text{ см}$.

3. Для нахождения площади равнобедренного треугольника воспользуемся формулой $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h$, где $a$ — основание, а $h$ — высота, проведенная к основанию. Высота, опущенная на основание равнобедренного треугольника, является также его медианой. Она делит основание (16 см) на два равных отрезка по $16 / 2 = 8 \text{ см}$. Эта высота образует два прямоугольных треугольника, где боковая сторона (17 см) является гипотенузой, а половина основания (8 см) и высота ($h$) — катетами. Найдем высоту $h$ по теореме Пифагора: $h^2 + 8^2 = 17^2$. $h^2 = 17^2 - 8^2 = 289 - 64 = 225$. $h = \sqrt{225} = 15 \text{ см}$. Теперь можем найти площадь треугольника: $S = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 15 = 8 \cdot 15 = 120 \text{ см}^2$.
Ответ: $120 \text{ см}^2$.

4. Пусть диагонали ромба равны $d_1$ и $d_2$. Площадь ромба вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2}d_1d_2$. Диагонали ромба перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам. Они образуют со стороной ромба ($a$) прямоугольный треугольник, для которого верна теорема Пифагора: $(\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2 = a^2$. По условию, $a = 50 \text{ см}$ и $d_1 - d_2 = 20 \text{ см}$. Получаем систему уравнений:
$\begin{cases} d_1 - d_2 = 20 \\ (\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2 = 50^2 \end{cases}$
Из первого уравнения $d_1 = d_2 + 20$. Второе уравнение упростим: $d_1^2 + d_2^2 = 4 \cdot 50^2 = 10000$.
Подставим $d_1$ во второе уравнение:
$(d_2 + 20)^2 + d_2^2 = 10000$
$d_2^2 + 40d_2 + 400 + d_2^2 = 10000$
$2d_2^2 + 40d_2 - 9600 = 0$
$d_2^2 + 20d_2 - 4800 = 0$
Решим квадратное уравнение через дискриминант: $D = 20^2 - 4(1)(-4800) = 400 + 19200 = 19600 = 140^2$.
$d_2 = \frac{-20 \pm 140}{2}$. Так как длина не может быть отрицательной, выбираем положительный корень: $d_2 = \frac{120}{2} = 60 \text{ см}$.
Тогда $d_1 = 60 + 20 = 80 \text{ см}$.
Найдем площадь ромба: $S = \frac{1}{2} \cdot 80 \cdot 60 = 2400 \text{ см}^2$.
Ответ: $2400 \text{ см}^2$.

5. Площадь трапеции вычисляется по формуле $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где $a$ и $b$ — основания, $h$ — высота. По свойству описанной трапеции (в которую можно вписать окружность), сумма ее оснований равна сумме боковых сторон. Так как трапеция равнобокая, то $a+b = 2c$, где $c$ — боковая сторона. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковой стороной $c$ (гипотенуза), высотой $h = 6\sqrt{3} \text{ см}$ (катет) и частью основания. Угол при основании равен $60^\circ$. Из определения синуса: $\sin(60^\circ) = \frac{h}{c}$. $c = \frac{h}{\sin(60^\circ)} = \frac{6\sqrt{3}}{\sqrt{3}/2} = 12 \text{ см}$. Сумма оснований равна $a+b = 2c = 2 \cdot 12 = 24 \text{ см}$. Теперь найдем площадь трапеции: $S = \frac{24}{2} \cdot 6\sqrt{3} = 12 \cdot 6\sqrt{3} = 72\sqrt{3} \text{ см}^2$.
Ответ: $72\sqrt{3} \text{ см}^2$.

6. Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$. Пусть биссектриса острого угла $A$ (обозначим ее $AD$) делит катет $BC$ на отрезки $CD$ и $DB$. Длина катета $BC = 6 + 10 = 16 \text{ см}$. По свойству биссектрисы угла треугольника: $\frac{AC}{AB} = \frac{CD}{DB}$. В прямоугольном треугольнике катет ($AC$) всегда меньше гипотенузы ($AB$), поэтому отношение $\frac{AC}{AB} < 1$. Следовательно, отрезок $CD$ должен быть меньше отрезка $DB$. Таким образом, $CD = 6 \text{ см}$ и $DB = 10 \text{ см}$. $\frac{AC}{AB} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$, откуда $AB = \frac{5}{3}AC$. По теореме Пифагора для треугольника $ABC$: $AC^2 + BC^2 = AB^2$. Подставим известные значения:
$AC^2 + 16^2 = (\frac{5}{3}AC)^2$
$AC^2 + 256 = \frac{25}{9}AC^2$
$256 = \frac{25}{9}AC^2 - AC^2$
$256 = \frac{16}{9}AC^2$
$AC^2 = \frac{256 \cdot 9}{16} = 16 \cdot 9 = 144$
$AC = \sqrt{144} = 12 \text{ см}$. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов: $S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 16 = 96 \text{ см}^2$.
Ответ: $96 \text{ см}^2$.

Контрольная работа № 7

Тема. Обобщение и систематизация знаний учащихся за курс 8 класса

1. Найдите углы параллелограмма, если один из них на $32^\circ$ меньше другого.

2. Продолжения боковых сторон $AB$ и $CD$ трапеции $ABCD$ пересекаются в точке $E$. Большее основание $AD$ равно 12 см, $DE = 16$ см, $CD = 10$ см. Найдите меньшее основание трапеции.

3. Высота $DE$ треугольника $CDF$ делит его сторону $CF$ на отрезки $CE$ и $EF$. Найдите сторону $CD$, если $EF = 8$ см, $DF = 17$ см, $\angle C = 60^\circ$.

4. Основания равнобокой трапеции равны 12 см и 18 см, а диагональ является биссектрисой её острого угла. Найдите площадь трапеции.

5. Перпендикуляр, опущенный из точки окружности на её диаметр, делит его на два отрезка, разность которых равна 21 см. Найдите радиус окружности, если длина данного перпендикуляра равна 10 см.

Контрольная работа № 7

Тема. Обобщение и систематизация знаний учащихся за курс 8 класса

1. Найдите углы параллелограмма, если один из них на $32^\circ$ меньше другого.

2. Продолжения боковых сторон $AB$ и $CD$ трапеции $ABCD$ пересекаются в точке $E$. Большее основание $AD$ равно 12 см, $DE = 16$ см, $CD = 10$ см. Найдите меньшее основание трапеции.

3. Высота $DE$ треугольника $CDF$ делит его сторону $CF$ на отрезки $CE$ и $EF$. Найдите сторону $CD$, если $EF = 8$ см, $DF = 17$ см, $\angle C = 60^\circ$.

4. Основания равнобокой трапеции равны 12 см и 18 см, а диагональ является биссектрисой её острого угла. Найдите площадь трапеции.

5. Перпендикуляр, опущенный из точки окружности на её диаметр, делит его на два отрезка, разность которых равна 21 см. Найдите радиус окружности, если длина данного перпендикуляра равна 10 см.

1.

Пусть один из углов параллелограмма равен $x$. Углы, прилежащие к одной стороне параллелограмма, в сумме дают $180^\circ$. Следовательно, смежный с ним угол равен $180^\circ - x$.

По условию задачи, один угол на $32^\circ$ меньше другого. Предположим, что $x$ — это больший угол. Тогда можно составить уравнение:

$(180^\circ - x) = x - 32^\circ$

$180^\circ + 32^\circ = 2x$

$212^\circ = 2x$

$x = 106^\circ$

Один угол равен $106^\circ$. Смежный с ним угол равен $180^\circ - 106^\circ = 74^\circ$.

Противоположные углы в параллелограмме равны. Таким образом, у параллелограмма два угла по $106^\circ$ и два угла по $74^\circ$.

Ответ: $74^\circ, 106^\circ, 74^\circ, 106^\circ$.

2.

Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. Продолжения боковых сторон $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $E$.

Поскольку основания трапеции параллельны ($BC \parallel AD$), то треугольники $\triangle EBC$ и $\triangle EAD$ подобны (по двум углам: $\angle E$ — общий, а $\angle ECB = \angle EDA$ как соответственные углы при параллельных прямых $BC, AD$ и секущей $ED$).

Из подобия треугольников следует соотношение сторон:

$\frac{BC}{AD} = \frac{EC}{ED}$

По условию дано: большее основание $AD = 12$ см, $DE = 16$ см, $CD = 10$ см. Точка $C$ лежит на отрезке $ED$, значит, $EC = ED - CD$.

$EC = 16 - 10 = 6$ см.

Теперь мы можем найти меньшее основание $BC$, подставив известные значения в пропорцию:

$\frac{BC}{12} = \frac{6}{16}$

$BC = 12 \cdot \frac{6}{16} = 12 \cdot \frac{3}{8} = \frac{36}{8} = 4,5$ см.

Ответ: 4,5 см.

3.

В треугольнике $CDF$ проведена высота $DE$ к стороне $CF$, следовательно, треугольники $\triangle DEC$ и $\triangle DEF$ — прямоугольные ($\angle DEC = \angle DEF = 90^\circ$).

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle DEF$. По теореме Пифагора $DE^2 + EF^2 = DF^2$. Нам известны гипотенуза $DF = 17$ см и катет $EF = 8$ см. Найдем катет $DE$:

$DE^2 + 8^2 = 17^2$

$DE^2 + 64 = 289$

$DE^2 = 289 - 64 = 225$

$DE = \sqrt{225} = 15$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle DEC$. В нем известен катет $DE = 15$ см (противолежащий углу $C$) и угол $\angle C = 60^\circ$. Найдем гипотенузу $CD$.

Воспользуемся определением синуса угла: $\sin C = \frac{DE}{CD}$.

$\sin 60^\circ = \frac{15}{CD}$

Известно, что $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

$\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{15}{CD}$

$CD = \frac{15 \cdot 2}{\sqrt{3}} = \frac{30}{\sqrt{3}} = \frac{30\sqrt{3}}{3} = 10\sqrt{3}$ см.

Ответ: $10\sqrt{3}$ см.

4.

Пусть дана равнобокая трапеция $ABCD$, где $AD=18$ см и $BC=12$ см — основания. Диагональ $AC$ — биссектриса острого угла $\angle A$.

Так как $AC$ является биссектрисой, то $\angle BAC = \angle CAD$.

Поскольку $BC \parallel AD$, углы $\angle BCA$ и $\angle CAD$ равны как накрест лежащие при секущей $AC$.

Из этих двух равенств следует, что $\angle BAC = \angle BCA$. Значит, треугольник $\triangle ABC$ — равнобедренный с основанием $AC$, и его боковые стороны равны: $AB = BC = 12$ см.

Так как трапеция равнобокая, ее боковые стороны равны: $CD = AB = 12$ см.

Для вычисления площади трапеции $S = \frac{AD+BC}{2}h$ необходимо найти высоту $h$. Проведем высоту $BH$ из вершины $B$ на основание $AD$.

В равнобокой трапеции отрезок $AH$, который высота отсекает на большем основании, вычисляется по формуле: $AH = \frac{AD-BC}{2}$.

$AH = \frac{18-12}{2} = \frac{6}{2} = 3$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABH$. По теореме Пифагора $AB^2 = AH^2 + BH^2$.

$12^2 = 3^2 + h^2$

$144 = 9 + h^2$

$h^2 = 135$

$h = \sqrt{135} = \sqrt{9 \cdot 15} = 3\sqrt{15}$ см.

Теперь вычислим площадь трапеции:

$S = \frac{18+12}{2} \cdot 3\sqrt{15} = \frac{30}{2} \cdot 3\sqrt{15} = 15 \cdot 3\sqrt{15} = 45\sqrt{15}$ см$^2$.

Ответ: $45\sqrt{15}$ см$^2$.

5.

Пусть из точки $C$ на окружности опущен перпендикуляр $CD$ на ее диаметр. Длина перпендикуляра $CD = 10$ см. Этот перпендикуляр делит диаметр на отрезки, которые мы обозначим $x$ и $y$.

По свойству высоты, проведенной из вершины прямого угла в прямоугольном треугольнике (угол, опирающийся на диаметр, всегда прямой), квадрат высоты равен произведению отрезков, на которые она делит гипотенузу: $CD^2 = x \cdot y$.

По условию задачи, разность этих отрезков равна 21 см: $x - y = 21$.

Мы получили систему уравнений:

$\begin{cases} x - y = 21 \\ x \cdot y = 10^2 = 100 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $x = y + 21$ и подставим во второе:

$(y+21) \cdot y = 100$

$y^2 + 21y - 100 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 21^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-100) = 441 + 400 = 841$. Корень из дискриминанта $\sqrt{841} = 29$.

$y_1 = \frac{-21 - 29}{2} = -25$ (не является решением, так как длина отрезка не может быть отрицательной).

$y_2 = \frac{-21 + 29}{2} = \frac{8}{2} = 4$ см.

Один отрезок равен 4 см. Найдем второй отрезок:

$x = 4 + 21 = 25$ см.

Длина диаметра равна сумме этих отрезков: $D_{диаметр} = x + y = 25 + 4 = 29$ см.

Радиус окружности $R$ равен половине диаметра:

$R = \frac{D_{диаметр}}{2} = \frac{29}{2} = 14,5$ см.

Ответ: 14,5 см.