Номер 220, страница 95 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

220. Биссектрисы четырёх углов пятиугольника пересекаются в одной точке. Докажите, что в этот пятиугольник можно вписать окружность.

220. Биссектрисы четырёх углов пятиугольника пересекаются в одной точке. Докажите, что в этот пятиугольник можно вписать окружность.

Пусть дан пятиугольник $ABCDE$. По условию, биссектрисы его четырех углов, например, $\angle A, \angle B, \angle C$ и $\angle D$, пересекаются в одной точке $O$.

Для того чтобы в многоугольник можно было вписать окружность, необходимо и достаточно, чтобы существовала точка, равноудаленная от всех его сторон. Эта точка будет являться центром вписанной окружности. Докажем, что точка $O$ является такой точкой.

Основное свойство биссектрисы угла заключается в том, что любая ее точка равноудалена от сторон, образующих этот угол. Применим это свойство к точке $O$ последовательно для каждого из четырех углов.

• Так как точка $O$ лежит на биссектрисе угла $\angle A$, она равноудалена от сторон $AB$ и $AE$. Обозначим расстояние от точки до прямой как $d(O, \text{прямая})$. Тогда $d(O, AB) = d(O, AE)$.
• Так как точка $O$ лежит на биссектрисе угла $\angle B$, она равноудалена от сторон $BA$ и $BC$. Следовательно, $d(O, AB) = d(O, BC)$.
• Так как точка $O$ лежит на биссектрисе угла $\angle C$, она равноудалена от сторон $CB$ и $CD$. Следовательно, $d(O, BC) = d(O, CD)$.
• Так как точка $O$ лежит на биссектрисе угла $\angle D$, она равноудалена от сторон $DC$ и $DE$. Следовательно, $d(O, CD) = d(O, DE)$.

Объединив полученные равенства, мы получаем следующую цепочку:

$d(O, AE) = d(O, AB) = d(O, BC) = d(O, CD) = d(O, DE)$.

Из этой цепочки следует, что точка $O$ равноудалена от всех пяти сторон пятиугольника $ABCDE$. Это означает, что существует окружность с центром в точке $O$ и радиусом $r = d(O, AE)$, которая касается всех пяти сторон пятиугольника. Следовательно, в данный пятиугольник можно вписать окружность, что и требовалось доказать.

Интересно отметить, что из равенства $d(O, DE) = d(O, AE)$ следует, что точка $O$ также лежит и на биссектрисе пятого угла $\angle E$.

Ответ: Утверждение доказано. Точка пересечения четырех биссектрис равноудалена от всех пяти сторон пятиугольника, а значит, является центром вписанной в него окружности.