Номер 206, страница 93 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

206. Большая диагональ ромба равна $b$, а тупой угол ромба равен $\beta$. Найдите сторону ромба и его меньшую диагональ.

206. Большая диагональ ромба равна $b$, а тупой угол ромба равен $\beta$. Найдите сторону ромба и его меньшую диагональ.

Пусть сторона ромба равна $a$, его большая диагональ равна $b$, меньшая диагональ — $d$, а тупой угол равен $\beta$.

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам и являются биссектрисами его углов. Таким образом, диагонали делят ромб на четыре равных прямоугольных треугольника.

Рассмотрим один из таких треугольников. Его гипотенуза — это сторона ромба $a$, а катеты — это половины диагоналей: $b/2$ и $d/2$. Большая диагональ $b$ лежит против тупого угла $\beta$, поэтому угол в нашем прямоугольном треугольнике, противолежащий катету $b/2$, будет равен $\beta/2$.

В прямоугольном треугольнике, используя соотношение между катетом ($b/2$), гипотенузой ($a$) и противолежащим углом ($\beta/2$), получаем по определению синуса:

$\sin(\frac{\beta}{2}) = \frac{b/2}{a}$

Из этого соотношения выражаем сторону ромба $a$:

$a = \frac{b/2}{\sin(\frac{\beta}{2})} = \frac{b}{2\sin(\frac{\beta}{2})}$

Ответ: $\frac{b}{2\sin(\frac{\beta}{2})}$

Для нахождения меньшей диагонали $d$ рассмотрим соотношение между двумя катетами ($b/2$ и $d/2$) в том же прямоугольном треугольнике. Используя определение тангенса угла, получаем:

$\tan(\frac{\beta}{2}) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{b/2}{d/2} = \frac{b}{d}$

Отсюда выражаем меньшую диагональ $d$:

$d = \frac{b}{\tan(\frac{\beta}{2})} = b \cot(\frac{\beta}{2})$

Ответ: $b \cot(\frac{\beta}{2})$