Номер 209, страница 94 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

209. В прямоугольном треугольнике ABC (рис. 116) $\angle C = 90^{\circ}$, $AB = b$, $\angle BAC = \beta$, $\angle FBC = \alpha$. Найдите отрезок $AF$.

Рис. 116

209. В прямоугольном треугольнике $ABC$ (рис. 116) $\angle C=90^{\circ}$, $AB=b$, $\angle BAC=\beta$, $\angle FBC=\alpha$. Найдите отрезок $AF$.

Для решения задачи выполним следующие шаги:

1. В прямоугольном треугольнике $ABC$ выразим катеты $AC$ и $BC$ через гипотенузу $AB = b$ и угол $\angle BAC = \beta$.

Из определения косинуса и синуса в прямоугольном треугольнике:

$\cos(\beta) = \frac{AC}{AB} \implies AC = AB \cdot \cos(\beta) = b \cos(\beta)$

$\sin(\beta) = \frac{BC}{AB} \implies BC = AB \cdot \sin(\beta) = b \sin(\beta)$

2. Теперь рассмотрим второй прямоугольный треугольник $FBC$ ($\angle C = 90^\circ$). В нем известен катет $BC$ и угол $\angle FBC = \alpha$. Найдем катет $FC$.

Из определения тангенса в прямоугольном треугольнике:

$\tg(\alpha) = \frac{FC}{BC} \implies FC = BC \cdot \tg(\alpha)$

Подставим выражение для $BC$, найденное на первом шаге:

$FC = (b \sin(\beta)) \cdot \tg(\alpha) = b \sin(\beta) \tg(\alpha)$

3. Отрезок $AF$, который нам нужно найти, является разностью длин отрезков $AC$ и $FC$, так как точка $F$ лежит на отрезке $AC$.

$AF = AC - FC$

Подставим выражения для $AC$ и $FC$:

$AF = b \cos(\beta) - b \sin(\beta) \tg(\alpha)$

4. Упростим полученное выражение. Вынесем $b$ за скобки и заменим тангенс отношением синуса к косинусу ($\tg(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$):

$AF = b (\cos(\beta) - \sin(\beta) \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)})$

Приведем выражение в скобках к общему знаменателю:

$AF = b (\frac{\cos(\beta)\cos(\alpha) - \sin(\beta)\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)})$

В числителе дроби мы получили формулу косинуса суммы двух углов: $\cos(x+y) = \cos(x)\cos(y) - \sin(x)\sin(y)$.

Применив эту формулу, получаем окончательный ответ:

$AF = b \frac{\cos(\beta + \alpha)}{\cos(\alpha)}$

Ответ: $AF = \frac{b \cos(\alpha + \beta)}{\cos(\alpha)}$