Страница 78 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

82. Найдите вписанный угол, если градусная мера дуги, на которую он опирается, равна:

1) 38°

2) 226°

3) $\frac{\gamma}{2}$

82. Найдите вписанный угол, если градусная мера дуги, на которую он опирается, равна:

1) $38^\circ$

2) $226^\circ$

3) $\frac{\gamma}{2}$

Для решения этой задачи воспользуемся свойством вписанного угла. Вписанный угол — это угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность.

По теореме о вписанном угле, его градусная мера равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается.

Если обозначить вписанный угол как $\alpha$, а градусную меру дуги, на которую он опирается, как $U$, то их связь выражается формулой:

$\alpha = \frac{1}{2}U$

Теперь найдем вписанный угол для каждого из заданных случаев.

1) Градусная мера дуги равна $38^\circ$.

Вписанный угол равен половине этой дуги:

$\alpha = \frac{1}{2} \times 38^\circ = 19^\circ$

Ответ: $19^\circ$.

2) Градусная мера дуги равна $226^\circ$.

Вписанный угол равен половине этой дуги:

$\alpha = \frac{1}{2} \times 226^\circ = 113^\circ$

Ответ: $113^\circ$.

3) Градусная мера дуги равна $\frac{\gamma}{2}$.

Вписанный угол равен половине этой дуги:

$\alpha = \frac{1}{2} \times \frac{\gamma}{2} = \frac{\gamma}{4}$

Ответ: $\frac{\gamma}{4}$.

83. Точки $M$ и $N$ лежат на окружности по одну сторону от хорды $AB$. Найдите угол $ANB$, если $\angle AMB = 63^\circ$.

83. Точки $M$ и $N$ лежат на окружности по одну сторону от хорды $AB$. Найдите угол $ANB$, если $\angle AMB = 63^\circ$.

По свойству вписанных углов в окружности, углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

Углы $ \angle AMB $ и $ \angle ANB $ являются вписанными углами. Поскольку по условию задачи точки $M$ и $N$ лежат на окружности по одну сторону от хорды $AB$, оба этих угла опираются на одну и ту же дугу $AB$.

Следовательно, величины этих углов равны:

$ \angle ANB = \angle AMB $

Так как по условию $ \angle AMB = 63^\circ $, то и $ \angle ANB $ также равен $ 63^\circ $.

$ \angle ANB = 63^\circ $

Ответ: 63°.

84. Точка $M$ окружности и её центр $O$ лежат по разные стороны от хорды $AB$. Найдите:

1) угол $AMB$, если $\angle AOB = 152^\circ$;

2) угол $AOB$, если $\angle AMB = 73^\circ$.

84. Точка $M$ окружности и её центр $O$ лежат по разные стороны от хорды $AB$. Найдите:

1) угол $AMB$, если $\angle AOB = 152^\circ$;

2) угол $AOB$, если $\angle AMB = 73^\circ$.

Для решения этой задачи воспользуемся свойствами центральных и вписанных углов окружности.

По условию, точка M и центр окружности O лежат по разные стороны от хорды AB. Геометрически это означает, что точка M находится на меньшей из двух дуг, на которые хорда AB делит окружность. Центральный угол $∠AOB$ опирается на меньшую дугу AB, а вписанный угол $∠AMB$ опирается на большую дугу AB.

Пусть градусная мера меньшей дуги AB равна $α$. Тогда величина центрального угла, опирающегося на эту дугу, равна $∠AOB = α$. Градусная мера большей дуги AB будет равна $360° - α$.

Величина вписанного угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается. Угол $∠AMB$ опирается на большую дугу, поэтому:

$∠AMB = \frac{1}{2} (360° - α) = 180° - \frac{1}{2} α$

Так как $α = ∠AOB$, мы получаем основную формулу для решения обоих пунктов:

$∠AMB = 180° - \frac{1}{2} ∠AOB$

1) найти угол AMB, если ∠AOB = 152°

Используя выведенную формулу, подставим известное значение центрального угла $∠AOB = 152°$:

$∠AMB = 180° - \frac{1}{2} \times 152°$

$∠AMB = 180° - 76°$

$∠AMB = 104°$

Ответ: $104°$

2) найти угол AOB, если ∠AMB = 73°

Подставим известное значение вписанного угла $∠AMB = 73°$ в ту же формулу:

$73° = 180° - \frac{1}{2} ∠AOB$

Теперь выразим $∠AOB$:

$\frac{1}{2} ∠AOB = 180° - 73°$

$\frac{1}{2} ∠AOB = 107°$

$∠AOB = 2 \times 107° = 214°$

Полученный результат $∠AOB = 214°$ формально верен, но он противоречит стандартному определению центрального угла $∠AOB$, который стягивает хорду и обычно считается меньше $180°$. Кроме того, из условия, что точка M лежит на меньшей дуге, следует, что вписанный угол $∠AMB$ должен быть тупым или прямым (т.е. $∠AMB \ge 90°$). Заданное значение $∠AMB = 73°$ является острым, что указывает на противоречие в условии задачи.

Вероятнее всего, в условии допущена опечатка, и точки M и O должны лежать по одну сторону от хорды AB. В этом случае вписанный угол $∠AMB$ опирается на ту же (меньшую) дугу, что и центральный угол $∠AOB$, и его величина равна половине центрального угла:

$∠AMB = \frac{1}{2} ∠AOB$

Тогда решение было бы таким:

$∠AOB = 2 \times ∠AMB = 2 \times 73° = 146°$

Этот результат не содержит противоречий.

Ответ: При строгом следовании условию, задача в данном пункте не имеет решения из-за противоречия в данных. Если предположить, что в условии допущена опечатка и точки M и O лежат по одну сторону от хорды AB, то ответ: $146°$.

85. Точки M и N лежат на окружности по разные стороны от хорды AB. Найдите угол AMB, если $\angle ANB = 82^\circ$.

85. Точки $M$ и $N$ лежат на окружности по разные стороны от хорды $AB$. Найдите угол $AMB$, если $\angle ANB = 82^\circ$.

Поскольку точки A, M, B и N лежат на одной окружности, они образуют вписанный в эту окружность четырехугольник AMBN.

По условию задачи, точки M и N находятся по разные стороны от хорды AB. Это означает, что углы $\angle AMB$ и $\angle ANB$ являются противоположными углами вписанного четырехугольника AMBN.

Согласно свойству вписанного четырехугольника, сумма его противоположных углов равна $180^\circ$. Таким образом, для четырехугольника AMBN справедливо равенство:

$\angle AMB + \angle ANB = 180^\circ$

Нам известно, что $\angle ANB = 82^\circ$. Подставим это значение в формулу:

$\angle AMB + 82^\circ = 180^\circ$

Теперь вычислим искомую величину угла $\angle AMB$:

$\angle AMB = 180^\circ - 82^\circ$

$\angle AMB = 98^\circ$

Ответ: $98^\circ$.

86. Около треугольника ABC описана окружность с центром O. Найдите угол AOB, если:

1) $\angle C = 54^\circ$

2) $\angle C = 136^\circ$

86. Около треугольника $ABC$ описана окружность с центром $O$. Найдите угол $AOB$, если:

1) $\angle C = 54^{\circ}$;

2) $\angle C = 136^{\circ}$.

Для решения задачи воспользуемся свойством вписанных и центральных углов в окружности. Центральный угол в два раза больше вписанного угла, опирающегося на ту же дугу.

1) ∠C = 54°

Вписанный угол $\angle ACB$ (или $\angle C$) опирается на дугу $AB$. Центральный угол $\angle AOB$ также опирается на эту дугу. Поскольку угол $\angle C$ острый ($54^\circ < 90^\circ$), центр окружности $O$ и вершина $C$ лежат по одну сторону от хорды $AB$.

Следовательно, величина центрального угла $\angle AOB$ равна удвоенной величине вписанного угла $\angle ACB$.

$\angle AOB = 2 \cdot \angle ACB = 2 \cdot 54^\circ = 108^\circ$.

Ответ: $108^\circ$.

2) ∠C = 136°

В этом случае вписанный угол $\angle ACB$ является тупым ($136^\circ > 90^\circ$). Это означает, что центр окружности $O$ и вершина $C$ находятся по разные стороны от хорды $AB$. Вписанный угол $\angle C$ опирается на большую дугу $AB$, в то время как искомый центральный угол $\angle AOB$ (меньший из двух) опирается на меньшую дугу $AB$.

Чтобы найти $\angle AOB$, рассмотрим любую точку $D$ на большей дуге $AB$. Четырехугольник $ADBC$ вписан в окружность. Сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна $180^\circ$.

$\angle ADB + \angle ACB = 180^\circ$

Отсюда можем найти угол $\angle ADB$, который опирается на меньшую дугу $AB$:

$\angle ADB = 180^\circ - \angle ACB = 180^\circ - 136^\circ = 44^\circ$.

Теперь центральный угол $\angle AOB$ и вписанный угол $\angle ADB$ опираются на одну и ту же (меньшую) дугу $AB$. Следовательно, $\angle AOB$ в два раза больше $\angle ADB$.

$\angle AOB = 2 \cdot \angle ADB = 2 \cdot 44^\circ = 88^\circ$.

Ответ: $88^\circ$.

87. Точки D, E и F делят окружность на три дуги так, что $ \cup DE : \cup EF : \cup DF = 2 : 9 : 7 $. Найдите углы треугольника DEF.

87. Точки D, E и F делят окружность на три дуги так, что $\cup DE : \cup EF : \cup DF = 2 : 9 : 7$. Найдите углы треугольника DEF.

По условию задачи, точки D, E и F делят окружность на три дуги, градусные меры которых относятся как $ \text{◡}DE : \text{◡}EF : \text{◡}DF = 2 : 9 : 7 $. Сумма градусных мер всех дуг полной окружности составляет $360^\circ$.

Пусть $x$ — это одна часть в данном отношении, тогда градусные меры дуг будут равны $2x$, $9x$ и $7x$. Составим уравнение, исходя из того, что сумма дуг равна $360^\circ$:

$2x + 9x + 7x = 360^\circ$

$18x = 360^\circ$

$x = \frac{360^\circ}{18} = 20^\circ$

Теперь найдем градусные меры каждой дуги:

• $\text{◡}DE = 2 \cdot 20^\circ = 40^\circ$
• $\text{◡}EF = 9 \cdot 20^\circ = 180^\circ$
• $\text{◡}DF = 7 \cdot 20^\circ = 140^\circ$

Углы треугольника $DEF$ являются вписанными в окружность. По теореме о вписанном угле, его величина равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается.

Найдем величины углов треугольника $DEF$:

• Угол $\angle D$ опирается на дугу $EF$, поэтому его величина равна: $\angle D = \frac{1}{2} \cdot \text{◡}EF = \frac{1}{2} \cdot 180^\circ = 90^\circ$.
• Угол $\angle E$ опирается на дугу $DF$, поэтому его величина равна: $\angle E = \frac{1}{2} \cdot \text{◡}DF = \frac{1}{2} \cdot 140^\circ = 70^\circ$.
• Угол $\angle F$ опирается на дугу $DE$, поэтому его величина равна: $\angle F = \frac{1}{2} \cdot \text{◡}DE = \frac{1}{2} \cdot 40^\circ = 20^\circ$.

Проверка: сумма углов треугольника должна быть равна $180^\circ$.
$90^\circ + 70^\circ + 20^\circ = 180^\circ$. Равенство выполняется, следовательно, углы найдены верно.

Ответ: $20^\circ, 70^\circ, 90^\circ$.

88. Около треугольника ABC описана окружность с центром О. Найдите углы AOB, BOC и AOC, если

1) $\angle B = 52^\circ$, $\angle C = 64^\circ$;

2) $\angle B = 17^\circ$, $\angle C = 68^\circ$.

88. Около треугольника $ABC$ описана окружность с центром $O$. Найдите углы $AOB$, $BOC$ и $AOC$, если

1) $\angle B = 52^\circ$, $\angle C = 64^\circ$;

2) $\angle B = 17^\circ$, $\angle C = 68^\circ$.

Величина центрального угла в два раза больше величины вписанного угла, опирающегося на ту же дугу. Пусть O - центр описанной окружности треугольника ABC. Угол $\angle AOB$ соответствует вписанному углу $\angle C$, угол $\angle BOC$ — вписанному углу $\angle A$, а угол $\angle AOC$ — вписанному углу $\angle B$.
Если треугольник остроугольный, то центр O лежит внутри него, и для любого угла треугольника $\alpha$ соответствующий центральный угол равен $2\alpha$.
Если треугольник тупоугольный (например, с тупым углом A), то центр O лежит вне него. Для острых углов B и C формула $2\alpha$ сохраняется, а для тупого угла A соответствующий центральный угол $\angle BOC$ вычисляется как $2 \cdot (180^{\circ} - \angle A)$.

Дано: $\angle B = 52^{\circ}$, $\angle C = 64^{\circ}$.
Сначала найдем угол A, используя свойство о сумме углов в треугольнике ($180^{\circ}$):
$\angle A = 180^{\circ} - \angle B - \angle C = 180^{\circ} - 52^{\circ} - 64^{\circ} = 64^{\circ}$.
Все углы треугольника ($64^{\circ}, 52^{\circ}, 64^{\circ}$) острые, следовательно, треугольник остроугольный, и центр описанной окружности O лежит внутри него.
Теперь найдем центральные углы:
Угол $\angle AOC$, соответствующий вписанному углу $\angle B$:
$\angle AOC = 2 \cdot \angle B = 2 \cdot 52^{\circ} = 104^{\circ}$.
Угол $\angle AOB$, соответствующий вписанному углу $\angle C$:
$\angle AOB = 2 \cdot \angle C = 2 \cdot 64^{\circ} = 128^{\circ}$.
Угол $\angle BOC$, соответствующий вписанному углу $\angle A$:
$\angle BOC = 2 \cdot \angle A = 2 \cdot 64^{\circ} = 128^{\circ}$.
Проверим, что сумма центральных углов равна $360^{\circ}$: $104^{\circ} + 128^{\circ} + 128^{\circ} = 360^{\circ}$.
Ответ: $\angle AOB = 128^{\circ}$, $\angle BOC = 128^{\circ}$, $\angle AOC = 104^{\circ}$.

Дано: $\angle B = 17^{\circ}$, $\angle C = 68^{\circ}$.
Найдем угол A:
$\angle A = 180^{\circ} - \angle B - \angle C = 180^{\circ} - 17^{\circ} - 68^{\circ} = 180^{\circ} - 85^{\circ} = 95^{\circ}$.
Так как $\angle A > 90^{\circ}$, треугольник является тупоугольным. Центр описанной окружности O находится вне треугольника.
Найдем центральные углы, учитывая тип треугольника:
Угол $\angle AOC$, соответствующий острому вписанному углу $\angle B$:
$\angle AOC = 2 \cdot \angle B = 2 \cdot 17^{\circ} = 34^{\circ}$.
Угол $\angle AOB$, соответствующий острому вписанному углу $\angle C$:
$\angle AOB = 2 \cdot \angle C = 2 \cdot 68^{\circ} = 136^{\circ}$.
Угол $\angle BOC$, соответствующий тупому вписанному углу $\angle A$:
$\angle BOC = 2 \cdot (180^{\circ} - \angle A) = 2 \cdot (180^{\circ} - 95^{\circ}) = 2 \cdot 85^{\circ} = 170^{\circ}$.
Для тупоугольного треугольника один центральный угол равен сумме двух других. Проверим: $170^{\circ} = 34^{\circ} + 136^{\circ}$. Равенство верно.
Ответ: $\angle AOB = 136^{\circ}$, $\angle BOC = 170^{\circ}$, $\angle AOC = 34^{\circ}$.

89. Найдите углы равнобедренного треугольника, вписанного в окружность, если основание этого треугольника стягивает дугу, градусная мера которой равна $100^\circ$.

89. Найдите углы равнобедренного треугольника, вписанного в окружность, если основание этого треугольника стягивает дугу, градусная мера которой равна $100^\circ$.

Пусть $ABC$ — равнобедренный треугольник, вписанный в окружность, с основанием $AC$. По условию, хорда $AC$ (основание) стягивает дугу, градусная мера которой равна $100^\circ$. Это означает, что градусная мера меньшей дуги, стягиваемой хордой $AC$, равна $◡AC = 100^\circ$.

Угол треугольника, противолежащий основанию $AC$, это угол $\angle ABC$. Этот угол является вписанным в окружность. Величина вписанного угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается. Вершина $B$ может находиться либо на большей дуге, стягиваемой хордой $AC$, либо на меньшей. Это приводит к двум возможным решениям.

Случай 1: Вершина B лежит на большей дуге AC.

В этом случае вписанный угол $\angle ABC$ опирается на меньшую дугу $AC$, градусная мера которой равна $100^\circ$.
Тогда величина угла $\angle ABC$ составляет:
$\angle ABC = \frac{1}{2} \cdot ◡AC = \frac{1}{2} \cdot 100^\circ = 50^\circ$.
Поскольку треугольник $ABC$ равнобедренный с основанием $AC$, углы при основании равны: $\angle BAC = \angle BCA$.
Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому:
$\angle BAC + \angle BCA + \angle ABC = 180^\circ$
$2 \cdot \angle BAC + 50^\circ = 180^\circ$
$2 \cdot \angle BAC = 180^\circ - 50^\circ$
$2 \cdot \angle BAC = 130^\circ$
$\angle BAC = \frac{130^\circ}{2} = 65^\circ$
Следовательно, $\angle BCA = 65^\circ$.
Углы треугольника в этом случае: $50^\circ, 65^\circ, 65^\circ$.

Случай 2: Вершина B лежит на меньшей дуге AC.

В этом случае вписанный угол $\angle ABC$ опирается на большую дугу $AC$. Градусная мера большей дуги равна разности полной окружности и меньшей дуги:
Большая дуга $◡AC = 360^\circ - 100^\circ = 260^\circ$.
Тогда величина угла $\angle ABC$ составляет:
$\angle ABC = \frac{1}{2} \cdot 260^\circ = 130^\circ$.
Так как треугольник $ABC$ равнобедренный с основанием $AC$, углы при основании равны: $\angle BAC = \angle BCA$.
Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому:
$\angle BAC + \angle BCA + \angle ABC = 180^\circ$
$2 \cdot \angle BAC + 130^\circ = 180^\circ$
$2 \cdot \angle BAC = 180^\circ - 130^\circ$
$2 \cdot \angle BAC = 50^\circ$
$\angle BAC = \frac{50^\circ}{2} = 25^\circ$
Следовательно, $\angle BCA = 25^\circ$.
Углы треугольника в этом случае: $130^\circ, 25^\circ, 25^\circ$.

Ответ: $50^\circ, 65^\circ, 65^\circ$ или $130^\circ, 25^\circ, 25^\circ$.

90. Точка $O$ — центр окружности, описанной около равнобедренного треугольника $ABC$ ($AB = AC$). Найдите углы треугольника $ABC$, если $\angle BOC = 32^\circ$. Сколько решений имеет задача?

90. Точка $O$ — центр окружности, описанной около равнобедренного треугольника $ABC$ ($AB = AC$). Найдите углы треугольника $ABC$, если $\angle BOC = 32^\circ$. Сколько решений имеет задача?

Положение центра описанной окружности $O$ относительно треугольника $ABC$ зависит от того, является ли треугольник остроугольным или тупоугольным. В условии это не уточнено, поэтому задача имеет два возможных решения.

Случай 1: Центр окружности O и вершина A лежат по одну сторону от хорды BC.

В этом случае треугольник $ABC$ является остроугольным. Угол $∠BOC$ является центральным углом, опирающимся на дугу $BC$, а угол $∠BAC$ — вписанным углом, опирающимся на ту же дугу.
По свойству вписанного и центрального углов, вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.
Следовательно:
$∠BAC = \frac{1}{2} ∠BOC = \frac{32°}{2} = 16°$.
Так как треугольник $ABC$ равнобедренный и $AB = AC$, то углы при основании $BC$ равны: $∠ABC = ∠ACB$.
Сумма углов в треугольнике равна $180°$, поэтому:
$∠ABC = ∠ACB = \frac{180° - ∠BAC}{2} = \frac{180° - 16°}{2} = \frac{164°}{2} = 82°$.
Таким образом, углы треугольника равны $16°, 82°, 82°$.
Ответ: $∠A = 16°, ∠B = 82°, ∠C = 82°$.

Случай 2: Центр окружности O и вершина A лежат по разные стороны от хорды BC.

В этом случае треугольник $ABC$ является тупоугольным (угол $A$ — тупой).
Вписанный угол $∠BAC$ опирается на большую дугу $BC$, в то время как центральный угол $∠BOC = 32°$ опирается на меньшую дугу $BC$.
Градусная мера меньшей дуги $BC$ равна центральному углу $∠BOC$, то есть $32°$.
Градусная мера большей дуги $BC$ равна $360° - 32° = 328°$.
Вписанный угол $∠BAC$ равен половине дуги, на которую он опирается:
$∠BAC = \frac{1}{2} \cdot 328° = 164°$.
Так как треугольник $ABC$ равнобедренный ($AB = AC$), то углы при основании $BC$ равны: $∠ABC = ∠ACB$.
Сумма углов в треугольнике равна $180°$, поэтому:
$∠ABC = ∠ACB = \frac{180° - ∠BAC}{2} = \frac{180° - 164°}{2} = \frac{16°}{2} = 8°$.
Таким образом, углы треугольника равны $164°, 8°, 8°$.
Ответ: $∠A = 164°, ∠B = 8°, ∠C = 8°$.

Поскольку оба случая приводят к корректным наборам углов для треугольника, задача имеет два решения.

91. Точки $M$ и $N$ окружности лежат по одну сторону от диаметра $AB$ (рис. 92). Найдите угол $BMN$, если $\angle AMN = 110^\circ$.

Рис. 92

91. Точки $M$ и $N$ окружности лежат по одну сторону от диаметра $AB$ (рис. 92). Найдите угол $BMN$, если $\angle AMN = 110^\circ$.

Рис. 92

По условию задачи, точки A, B, M, N лежат на одной окружности, причем AB является ее диаметром. Точки M и N находятся по одну сторону от диаметра. Нам дан угол $ \angle AMN = 110^\circ $. Необходимо найти величину угла $ \angle BMN $.

Рассмотрим угол $ \angle AMB $. Этот угол является вписанным в окружность и опирается на диаметр AB. По свойству вписанного угла, который опирается на диаметр, его величина составляет 90 градусов. Таким образом, $ \angle AMB = 90^\circ $.

Углы $ \angle AMN $, $ \angle AMB $ и $ \angle BMN $ имеют общую вершину M. Поскольку $ \angle AMN = 110^\circ $, а $ \angle AMB = 90^\circ $, то луч MB находится внутри угла $ \angle AMN $. Это означает, что угол $ \angle AMN $ складывается из двух смежных углов $ \angle AMB $ и $ \angle BMN $.

Мы можем записать следующее равенство:

$ \angle AMN = \angle AMB + \angle BMN $

Из этого равенства выразим искомый угол $ \angle BMN $:

$ \angle BMN = \angle AMN - \angle AMB $

Подставим известные значения углов в формулу:

$ \angle BMN = 110^\circ - 90^\circ = 20^\circ $

Ответ: $ 20^\circ $.

92. Точки C и D окружности лежат по одну сторону от диаметра AB (рис. 93). Найдите угол ABD, если $\angle BCD = 36^\circ$.

Рис. 93

92. Точки C и D окружности лежат по одну сторону от диаметра AB (рис. 93). Найдите угол ABD, если $∠BCD = 36^\circ$.

Рис. 93

Поскольку отрезок $AB$ является диаметром окружности, то вписанный угол, опирающийся на этот диаметр, равен $90°$. Угол $\angle ACB$ опирается на диаметр $AB$, следовательно, $\angle ACB = 90°$.

Согласно условию и рисунку, точки $C$ и $D$ лежат на одной дуге $AB$, причем точка $D$ находится между точками $C$ и $B$. Это означает, что угол $\angle ACB$ состоит из двух углов: $\angle ACD$ и $\angle BCD$.

Таким образом, мы можем записать равенство:
$\angle ACB = \angle ACD + \angle BCD$

Подставим известные значения в это равенство:
$90° = \angle ACD + 36°$

Отсюда мы можем найти величину угла $\angle ACD$:
$\angle ACD = 90° - 36° = 54°$

Теперь рассмотрим углы $\angle ABD$ и $\angle ACD$. Оба этих угла являются вписанными в окружность и опираются на одну и ту же дугу $AD$. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

Следовательно, $\angle ABD = \angle ACD$.

Так как мы нашли, что $\angle ACD = 54°$, то и $\angle ABD = 54°$.

Ответ: $54°$

93. Две окружности пересекаются в точках A и B. Через точку A проведены диаметры AC и AD. Найдите углы $\angle ACB$ и $\angle BAD$, если $\angle BAC = 65^\circ$, $\angle ADB = 40^\circ$.

93. Две окружности пересекаются в точках $A$ и $B$. Через точку $A$ проведены диаметры $AC$ и $AD$. Найдите углы $ACB$ и $BAD$, если $\angle BAC = 65^\circ$, $\angle ADB = 40^\circ$.

ACB

Рассмотрим окружность, в которой AC является диаметром. Поскольку точки A, B и C лежат на этой окружности, вписанный угол ∠ABC опирается на диаметр AC. Угол, вписанный в окружность и опирающийся на диаметр, равен 90°. Следовательно, $∠ABC = 90°$.

Теперь рассмотрим треугольник ABC. Он является прямоугольным, и сумма его углов равна 180°. Мы знаем, что $∠BAC = 65°$ и $∠ABC = 90°$. Можем найти угол ∠ACB:

$∠ACB + ∠BAC + ∠ABC = 180°$

$∠ACB + 65° + 90° = 180°$

$∠ACB + 155° = 180°$

$∠ACB = 180° - 155° = 25°$

Ответ: $∠ACB = 25°$.

BAD

Аналогично, рассмотрим окружность, в которой AD является диаметром. Точки A, B и D лежат на этой окружности, поэтому вписанный угол ∠ABD опирается на диаметр AD. Это означает, что $∠ABD = 90°$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABD. Сумма его углов равна 180°. Нам известно, что $∠ADB = 40°$ и $∠ABD = 90°$. Найдем угол ∠BAD:

$∠BAD + ∠ABD + ∠ADB = 180°$

$∠BAD + 90° + 40° = 180°$

$∠BAD + 130° = 180°$

$∠BAD = 180° - 130° = 50°$

Ответ: $∠BAD = 50°$.