Номер 90, страница 78 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

90. Точка $O$ — центр окружности, описанной около равнобедренного треугольника $ABC$ ($AB = AC$). Найдите углы треугольника $ABC$, если $\angle BOC = 32^\circ$. Сколько решений имеет задача?

90. Точка $O$ — центр окружности, описанной около равнобедренного треугольника $ABC$ ($AB = AC$). Найдите углы треугольника $ABC$, если $\angle BOC = 32^\circ$. Сколько решений имеет задача?

Положение центра описанной окружности $O$ относительно треугольника $ABC$ зависит от того, является ли треугольник остроугольным или тупоугольным. В условии это не уточнено, поэтому задача имеет два возможных решения.

Случай 1: Центр окружности O и вершина A лежат по одну сторону от хорды BC.

В этом случае треугольник $ABC$ является остроугольным. Угол $∠BOC$ является центральным углом, опирающимся на дугу $BC$, а угол $∠BAC$ — вписанным углом, опирающимся на ту же дугу.
По свойству вписанного и центрального углов, вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.
Следовательно:
$∠BAC = \frac{1}{2} ∠BOC = \frac{32°}{2} = 16°$.
Так как треугольник $ABC$ равнобедренный и $AB = AC$, то углы при основании $BC$ равны: $∠ABC = ∠ACB$.
Сумма углов в треугольнике равна $180°$, поэтому:
$∠ABC = ∠ACB = \frac{180° - ∠BAC}{2} = \frac{180° - 16°}{2} = \frac{164°}{2} = 82°$.
Таким образом, углы треугольника равны $16°, 82°, 82°$.
Ответ: $∠A = 16°, ∠B = 82°, ∠C = 82°$.

Случай 2: Центр окружности O и вершина A лежат по разные стороны от хорды BC.

В этом случае треугольник $ABC$ является тупоугольным (угол $A$ — тупой).
Вписанный угол $∠BAC$ опирается на большую дугу $BC$, в то время как центральный угол $∠BOC = 32°$ опирается на меньшую дугу $BC$.
Градусная мера меньшей дуги $BC$ равна центральному углу $∠BOC$, то есть $32°$.
Градусная мера большей дуги $BC$ равна $360° - 32° = 328°$.
Вписанный угол $∠BAC$ равен половине дуги, на которую он опирается:
$∠BAC = \frac{1}{2} \cdot 328° = 164°$.
Так как треугольник $ABC$ равнобедренный ($AB = AC$), то углы при основании $BC$ равны: $∠ABC = ∠ACB$.
Сумма углов в треугольнике равна $180°$, поэтому:
$∠ABC = ∠ACB = \frac{180° - ∠BAC}{2} = \frac{180° - 164°}{2} = \frac{16°}{2} = 8°$.
Таким образом, углы треугольника равны $164°, 8°, 8°$.
Ответ: $∠A = 164°, ∠B = 8°, ∠C = 8°$.

Поскольку оба случая приводят к корректным наборам углов для треугольника, задача имеет два решения.