Номер 87, страница 78 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

87. Точки D, E и F делят окружность на три дуги так, что $ \cup DE : \cup EF : \cup DF = 2 : 9 : 7 $. Найдите углы треугольника DEF.

87. Точки D, E и F делят окружность на три дуги так, что $\cup DE : \cup EF : \cup DF = 2 : 9 : 7$. Найдите углы треугольника DEF.

По условию задачи, точки D, E и F делят окружность на три дуги, градусные меры которых относятся как $ \text{◡}DE : \text{◡}EF : \text{◡}DF = 2 : 9 : 7 $. Сумма градусных мер всех дуг полной окружности составляет $360^\circ$.

Пусть $x$ — это одна часть в данном отношении, тогда градусные меры дуг будут равны $2x$, $9x$ и $7x$. Составим уравнение, исходя из того, что сумма дуг равна $360^\circ$:

$2x + 9x + 7x = 360^\circ$

$18x = 360^\circ$

$x = \frac{360^\circ}{18} = 20^\circ$

Теперь найдем градусные меры каждой дуги:

• $\text{◡}DE = 2 \cdot 20^\circ = 40^\circ$
• $\text{◡}EF = 9 \cdot 20^\circ = 180^\circ$
• $\text{◡}DF = 7 \cdot 20^\circ = 140^\circ$

Углы треугольника $DEF$ являются вписанными в окружность. По теореме о вписанном угле, его величина равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается.

Найдем величины углов треугольника $DEF$:

• Угол $\angle D$ опирается на дугу $EF$, поэтому его величина равна: $\angle D = \frac{1}{2} \cdot \text{◡}EF = \frac{1}{2} \cdot 180^\circ = 90^\circ$.
• Угол $\angle E$ опирается на дугу $DF$, поэтому его величина равна: $\angle E = \frac{1}{2} \cdot \text{◡}DF = \frac{1}{2} \cdot 140^\circ = 70^\circ$.
• Угол $\angle F$ опирается на дугу $DE$, поэтому его величина равна: $\angle F = \frac{1}{2} \cdot \text{◡}DE = \frac{1}{2} \cdot 40^\circ = 20^\circ$.

Проверка: сумма углов треугольника должна быть равна $180^\circ$.
$90^\circ + 70^\circ + 20^\circ = 180^\circ$. Равенство выполняется, следовательно, углы найдены верно.

Ответ: $20^\circ, 70^\circ, 90^\circ$.