Номер 89, страница 78 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

89. Найдите углы равнобедренного треугольника, вписанного в окружность, если основание этого треугольника стягивает дугу, градусная мера которой равна $100^\circ$.

89. Найдите углы равнобедренного треугольника, вписанного в окружность, если основание этого треугольника стягивает дугу, градусная мера которой равна $100^\circ$.

Пусть $ABC$ — равнобедренный треугольник, вписанный в окружность, с основанием $AC$. По условию, хорда $AC$ (основание) стягивает дугу, градусная мера которой равна $100^\circ$. Это означает, что градусная мера меньшей дуги, стягиваемой хордой $AC$, равна $◡AC = 100^\circ$.

Угол треугольника, противолежащий основанию $AC$, это угол $\angle ABC$. Этот угол является вписанным в окружность. Величина вписанного угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается. Вершина $B$ может находиться либо на большей дуге, стягиваемой хордой $AC$, либо на меньшей. Это приводит к двум возможным решениям.

Случай 1: Вершина B лежит на большей дуге AC.

В этом случае вписанный угол $\angle ABC$ опирается на меньшую дугу $AC$, градусная мера которой равна $100^\circ$.
Тогда величина угла $\angle ABC$ составляет:
$\angle ABC = \frac{1}{2} \cdot ◡AC = \frac{1}{2} \cdot 100^\circ = 50^\circ$.
Поскольку треугольник $ABC$ равнобедренный с основанием $AC$, углы при основании равны: $\angle BAC = \angle BCA$.
Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому:
$\angle BAC + \angle BCA + \angle ABC = 180^\circ$
$2 \cdot \angle BAC + 50^\circ = 180^\circ$
$2 \cdot \angle BAC = 180^\circ - 50^\circ$
$2 \cdot \angle BAC = 130^\circ$
$\angle BAC = \frac{130^\circ}{2} = 65^\circ$
Следовательно, $\angle BCA = 65^\circ$.
Углы треугольника в этом случае: $50^\circ, 65^\circ, 65^\circ$.

Случай 2: Вершина B лежит на меньшей дуге AC.

В этом случае вписанный угол $\angle ABC$ опирается на большую дугу $AC$. Градусная мера большей дуги равна разности полной окружности и меньшей дуги:
Большая дуга $◡AC = 360^\circ - 100^\circ = 260^\circ$.
Тогда величина угла $\angle ABC$ составляет:
$\angle ABC = \frac{1}{2} \cdot 260^\circ = 130^\circ$.
Так как треугольник $ABC$ равнобедренный с основанием $AC$, углы при основании равны: $\angle BAC = \angle BCA$.
Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому:
$\angle BAC + \angle BCA + \angle ABC = 180^\circ$
$2 \cdot \angle BAC + 130^\circ = 180^\circ$
$2 \cdot \angle BAC = 180^\circ - 130^\circ$
$2 \cdot \angle BAC = 50^\circ$
$\angle BAC = \frac{50^\circ}{2} = 25^\circ$
Следовательно, $\angle BCA = 25^\circ$.
Углы треугольника в этом случае: $130^\circ, 25^\circ, 25^\circ$.

Ответ: $50^\circ, 65^\circ, 65^\circ$ или $130^\circ, 25^\circ, 25^\circ$.