Номер 88, страница 78 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

88. Около треугольника ABC описана окружность с центром О. Найдите углы AOB, BOC и AOC, если

1) $\angle B = 52^\circ$, $\angle C = 64^\circ$;

2) $\angle B = 17^\circ$, $\angle C = 68^\circ$.

88. Около треугольника $ABC$ описана окружность с центром $O$. Найдите углы $AOB$, $BOC$ и $AOC$, если

1) $\angle B = 52^\circ$, $\angle C = 64^\circ$;

2) $\angle B = 17^\circ$, $\angle C = 68^\circ$.

Величина центрального угла в два раза больше величины вписанного угла, опирающегося на ту же дугу. Пусть O - центр описанной окружности треугольника ABC. Угол $\angle AOB$ соответствует вписанному углу $\angle C$, угол $\angle BOC$ — вписанному углу $\angle A$, а угол $\angle AOC$ — вписанному углу $\angle B$.
Если треугольник остроугольный, то центр O лежит внутри него, и для любого угла треугольника $\alpha$ соответствующий центральный угол равен $2\alpha$.
Если треугольник тупоугольный (например, с тупым углом A), то центр O лежит вне него. Для острых углов B и C формула $2\alpha$ сохраняется, а для тупого угла A соответствующий центральный угол $\angle BOC$ вычисляется как $2 \cdot (180^{\circ} - \angle A)$.

Дано: $\angle B = 52^{\circ}$, $\angle C = 64^{\circ}$.
Сначала найдем угол A, используя свойство о сумме углов в треугольнике ($180^{\circ}$):
$\angle A = 180^{\circ} - \angle B - \angle C = 180^{\circ} - 52^{\circ} - 64^{\circ} = 64^{\circ}$.
Все углы треугольника ($64^{\circ}, 52^{\circ}, 64^{\circ}$) острые, следовательно, треугольник остроугольный, и центр описанной окружности O лежит внутри него.
Теперь найдем центральные углы:
Угол $\angle AOC$, соответствующий вписанному углу $\angle B$:
$\angle AOC = 2 \cdot \angle B = 2 \cdot 52^{\circ} = 104^{\circ}$.
Угол $\angle AOB$, соответствующий вписанному углу $\angle C$:
$\angle AOB = 2 \cdot \angle C = 2 \cdot 64^{\circ} = 128^{\circ}$.
Угол $\angle BOC$, соответствующий вписанному углу $\angle A$:
$\angle BOC = 2 \cdot \angle A = 2 \cdot 64^{\circ} = 128^{\circ}$.
Проверим, что сумма центральных углов равна $360^{\circ}$: $104^{\circ} + 128^{\circ} + 128^{\circ} = 360^{\circ}$.
Ответ: $\angle AOB = 128^{\circ}$, $\angle BOC = 128^{\circ}$, $\angle AOC = 104^{\circ}$.

Дано: $\angle B = 17^{\circ}$, $\angle C = 68^{\circ}$.
Найдем угол A:
$\angle A = 180^{\circ} - \angle B - \angle C = 180^{\circ} - 17^{\circ} - 68^{\circ} = 180^{\circ} - 85^{\circ} = 95^{\circ}$.
Так как $\angle A > 90^{\circ}$, треугольник является тупоугольным. Центр описанной окружности O находится вне треугольника.
Найдем центральные углы, учитывая тип треугольника:
Угол $\angle AOC$, соответствующий острому вписанному углу $\angle B$:
$\angle AOC = 2 \cdot \angle B = 2 \cdot 17^{\circ} = 34^{\circ}$.
Угол $\angle AOB$, соответствующий острому вписанному углу $\angle C$:
$\angle AOB = 2 \cdot \angle C = 2 \cdot 68^{\circ} = 136^{\circ}$.
Угол $\angle BOC$, соответствующий тупому вписанному углу $\angle A$:
$\angle BOC = 2 \cdot (180^{\circ} - \angle A) = 2 \cdot (180^{\circ} - 95^{\circ}) = 2 \cdot 85^{\circ} = 170^{\circ}$.
Для тупоугольного треугольника один центральный угол равен сумме двух других. Проверим: $170^{\circ} = 34^{\circ} + 136^{\circ}$. Равенство верно.
Ответ: $\angle AOB = 136^{\circ}$, $\angle BOC = 170^{\circ}$, $\angle AOC = 34^{\circ}$.