Номер 86, страница 78 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

86. Около треугольника ABC описана окружность с центром O. Найдите угол AOB, если:

1) $\angle C = 54^\circ$

2) $\angle C = 136^\circ$

86. Около треугольника $ABC$ описана окружность с центром $O$. Найдите угол $AOB$, если:

1) $\angle C = 54^{\circ}$;

2) $\angle C = 136^{\circ}$.

Для решения задачи воспользуемся свойством вписанных и центральных углов в окружности. Центральный угол в два раза больше вписанного угла, опирающегося на ту же дугу.

1) ∠C = 54°

Вписанный угол $\angle ACB$ (или $\angle C$) опирается на дугу $AB$. Центральный угол $\angle AOB$ также опирается на эту дугу. Поскольку угол $\angle C$ острый ($54^\circ < 90^\circ$), центр окружности $O$ и вершина $C$ лежат по одну сторону от хорды $AB$.

Следовательно, величина центрального угла $\angle AOB$ равна удвоенной величине вписанного угла $\angle ACB$.

$\angle AOB = 2 \cdot \angle ACB = 2 \cdot 54^\circ = 108^\circ$.

Ответ: $108^\circ$.

2) ∠C = 136°

В этом случае вписанный угол $\angle ACB$ является тупым ($136^\circ > 90^\circ$). Это означает, что центр окружности $O$ и вершина $C$ находятся по разные стороны от хорды $AB$. Вписанный угол $\angle C$ опирается на большую дугу $AB$, в то время как искомый центральный угол $\angle AOB$ (меньший из двух) опирается на меньшую дугу $AB$.

Чтобы найти $\angle AOB$, рассмотрим любую точку $D$ на большей дуге $AB$. Четырехугольник $ADBC$ вписан в окружность. Сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна $180^\circ$.

$\angle ADB + \angle ACB = 180^\circ$

Отсюда можем найти угол $\angle ADB$, который опирается на меньшую дугу $AB$:

$\angle ADB = 180^\circ - \angle ACB = 180^\circ - 136^\circ = 44^\circ$.

Теперь центральный угол $\angle AOB$ и вписанный угол $\angle ADB$ опираются на одну и ту же (меньшую) дугу $AB$. Следовательно, $\angle AOB$ в два раза больше $\angle ADB$.

$\angle AOB = 2 \cdot \angle ADB = 2 \cdot 44^\circ = 88^\circ$.

Ответ: $88^\circ$.