Номер 84, страница 78 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

84. Точка $M$ окружности и её центр $O$ лежат по разные стороны от хорды $AB$. Найдите:

1) угол $AMB$, если $\angle AOB = 152^\circ$;

2) угол $AOB$, если $\angle AMB = 73^\circ$.

84. Точка $M$ окружности и её центр $O$ лежат по разные стороны от хорды $AB$. Найдите:

1) угол $AMB$, если $\angle AOB = 152^\circ$;

2) угол $AOB$, если $\angle AMB = 73^\circ$.

Для решения этой задачи воспользуемся свойствами центральных и вписанных углов окружности.

По условию, точка M и центр окружности O лежат по разные стороны от хорды AB. Геометрически это означает, что точка M находится на меньшей из двух дуг, на которые хорда AB делит окружность. Центральный угол $∠AOB$ опирается на меньшую дугу AB, а вписанный угол $∠AMB$ опирается на большую дугу AB.

Пусть градусная мера меньшей дуги AB равна $α$. Тогда величина центрального угла, опирающегося на эту дугу, равна $∠AOB = α$. Градусная мера большей дуги AB будет равна $360° - α$.

Величина вписанного угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается. Угол $∠AMB$ опирается на большую дугу, поэтому:

$∠AMB = \frac{1}{2} (360° - α) = 180° - \frac{1}{2} α$

Так как $α = ∠AOB$, мы получаем основную формулу для решения обоих пунктов:

$∠AMB = 180° - \frac{1}{2} ∠AOB$

1) найти угол AMB, если ∠AOB = 152°

Используя выведенную формулу, подставим известное значение центрального угла $∠AOB = 152°$:

$∠AMB = 180° - \frac{1}{2} \times 152°$

$∠AMB = 180° - 76°$

$∠AMB = 104°$

Ответ: $104°$

2) найти угол AOB, если ∠AMB = 73°

Подставим известное значение вписанного угла $∠AMB = 73°$ в ту же формулу:

$73° = 180° - \frac{1}{2} ∠AOB$

Теперь выразим $∠AOB$:

$\frac{1}{2} ∠AOB = 180° - 73°$

$\frac{1}{2} ∠AOB = 107°$

$∠AOB = 2 \times 107° = 214°$

Полученный результат $∠AOB = 214°$ формально верен, но он противоречит стандартному определению центрального угла $∠AOB$, который стягивает хорду и обычно считается меньше $180°$. Кроме того, из условия, что точка M лежит на меньшей дуге, следует, что вписанный угол $∠AMB$ должен быть тупым или прямым (т.е. $∠AMB \ge 90°$). Заданное значение $∠AMB = 73°$ является острым, что указывает на противоречие в условии задачи.

Вероятнее всего, в условии допущена опечатка, и точки M и O должны лежать по одну сторону от хорды AB. В этом случае вписанный угол $∠AMB$ опирается на ту же (меньшую) дугу, что и центральный угол $∠AOB$, и его величина равна половине центрального угла:

$∠AMB = \frac{1}{2} ∠AOB$

Тогда решение было бы таким:

$∠AOB = 2 \times ∠AMB = 2 \times 73° = 146°$

Этот результат не содержит противоречий.

Ответ: При строгом следовании условию, задача в данном пункте не имеет решения из-за противоречия в данных. Если предположить, что в условии допущена опечатка и точки M и O лежат по одну сторону от хорды AB, то ответ: $146°$.