Номер 78, страница 77 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

78. В трапеции $ABCD$ основания $BC$ и $AD$ соответственно равны 7 см и 15 см. Через точку $P$ — середину боковой стороны $AB$ — проведена прямая, пересекающая основание $AD$ в точке $K$ такой, что $DK = 11$ см. Найдите сторону $CD$, если $PK = 9$ см.

78. В трапеции $ABCD$ основания $BC$ и $AD$ соответственно равны 7 см и 15 см. Через точку $P$ — середину боковой стороны $AB$ — проведена прямая, пересекающая основание $AD$ в точке $K$ такой, что $DK = 11$ см. Найдите сторону $CD$, если $PK = 9$ см.

Выполним дополнительное построение. Продлим прямую, проходящую через точки $P$ и $K$, до пересечения с продолжением основания $BC$ в точке $M$.

Рассмотрим треугольники $\triangle MBP$ и $\triangle KAP$.

По условию точка $P$ — середина стороны $AB$, следовательно, $AP = PB$.
Углы $\angle BPM$ и $\angle APK$ равны как вертикальные углы.
Поскольку основания трапеции параллельны ($BC \parallel AD$), то и прямая $MC \parallel AD$. Прямая $AB$ является секущей при этих параллельных прямых, поэтому накрест лежащие углы $\angle MBP$ и $\angle PAK$ равны.
Таким образом, $\triangle MBP \cong \triangle KAP$ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: $MP = PK$ и $MB = AK$.

По условию $PK = 9$ см, значит, $MP = 9$ см. Длина отрезка $MK$ равна сумме длин отрезков $MP$ и $PK$:
$MK = MP + PK = 9 + 9 = 18$ см.

Точка $K$ лежит на основании $AD$. Найдем длину отрезка $AK$:
$AK = AD - DK = 15 - 11 = 4$ см.
Так как $MB = AK$, то $MB = 4$ см.

Теперь найдем длину отрезка $MC$, который является частью прямой, содержащей основание $BC$:
$MC = MB + BC = 4 + 7 = 11$ см.

Рассмотрим четырехугольник $MKDC$. Его стороны $MC$ и $KD$ лежат на параллельных прямых ($BC$ и $AD$), следовательно, $MC \parallel KD$.
Мы нашли, что длина стороны $MC = 11$ см. По условию, длина стороны $DK = 11$ см. Значит, $MC = KD$.

В четырехугольнике $MKDC$ две противоположные стороны ($MC$ и $KD$) равны и параллельны. Согласно признаку параллелограмма, такой четырехугольник является параллелограммом.

В параллелограмме противоположные стороны равны. Следовательно, $CD = MK$.
Ранее мы вычислили, что $MK = 18$ см. Таким образом, $CD = 18$ см.

Ответ: 18 см.