Номер 93, страница 78 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

93. Две окружности пересекаются в точках A и B. Через точку A проведены диаметры AC и AD. Найдите углы $\angle ACB$ и $\angle BAD$, если $\angle BAC = 65^\circ$, $\angle ADB = 40^\circ$.

93. Две окружности пересекаются в точках $A$ и $B$. Через точку $A$ проведены диаметры $AC$ и $AD$. Найдите углы $ACB$ и $BAD$, если $\angle BAC = 65^\circ$, $\angle ADB = 40^\circ$.

ACB

Рассмотрим окружность, в которой AC является диаметром. Поскольку точки A, B и C лежат на этой окружности, вписанный угол ∠ABC опирается на диаметр AC. Угол, вписанный в окружность и опирающийся на диаметр, равен 90°. Следовательно, $∠ABC = 90°$.

Теперь рассмотрим треугольник ABC. Он является прямоугольным, и сумма его углов равна 180°. Мы знаем, что $∠BAC = 65°$ и $∠ABC = 90°$. Можем найти угол ∠ACB:

$∠ACB + ∠BAC + ∠ABC = 180°$

$∠ACB + 65° + 90° = 180°$

$∠ACB + 155° = 180°$

$∠ACB = 180° - 155° = 25°$

Ответ: $∠ACB = 25°$.

BAD

Аналогично, рассмотрим окружность, в которой AD является диаметром. Точки A, B и D лежат на этой окружности, поэтому вписанный угол ∠ABD опирается на диаметр AD. Это означает, что $∠ABD = 90°$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABD. Сумма его углов равна 180°. Нам известно, что $∠ADB = 40°$ и $∠ABD = 90°$. Найдем угол ∠BAD:

$∠BAD + ∠ABD + ∠ADB = 180°$

$∠BAD + 90° + 40° = 180°$

$∠BAD + 130° = 180°$

$∠BAD = 180° - 130° = 50°$

Ответ: $∠BAD = 50°$.