Номер 94, страница 79 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

94. В окружности с центром $O$ проведён диаметр $AB$ (рис. 94). Найдите угол $CAB$, если $\angle CED = 14^\circ$, $\angle ABD = 53^\circ$.

Рис. 94

94. В окружности с центром $O$ проведён диаметр $AB$ (рис. 94). Найдите угол $CAB$, если $\angle CED = 14^\circ$, $\angle ABD = 53^\circ$.

Рис. 94

Для решения задачи воспользуемся свойствами вписанных углов и дуг окружности.

1. Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается. И наоборот, градусная мера дуги равна удвоенному вписанному углу, который на неё опирается.

Угол $∠ABD$ является вписанным и опирается на дугу $AD$. По условию $∠ABD = 53°$.
Следовательно, градусная мера дуги $AD$ равна:
$\text{дуга } AD = 2 \cdot ∠ABD = 2 \cdot 53° = 106°$

Угол $∠CED$ является вписанным и опирается на дугу $CD$. По условию $∠CED = 14°$.
Следовательно, градусная мера дуги $CD$ равна:
$\text{дуга } CD = 2 \cdot ∠CED = 2 \cdot 14° = 28°$

2. На основании рисунка, точка $C$ лежит на дуге $AD$. Это означает, что дуга $AD$ состоит из суммы дуг $AC$ и $CD$.
$\text{дуга } AD = \text{дуга } AC + \text{дуга } CD$
Отсюда мы можем найти градусную меру дуги $AC$:
$\text{дуга } AC = \text{дуга } AD - \text{дуга } CD = 106° - 28° = 78°$

3. Отрезок $AB$ — диаметр окружности. Следовательно, дуга $ACB$ является полуокружностью, и её градусная мера составляет $180°$.
Дуга $ACB$ состоит из суммы дуг $AC$ и $CB$.
$\text{дуга } ACB = \text{дуга } AC + \text{дуга } CB = 180°$
Теперь мы можем найти градусную меру дуги $CB$:
$\text{дуга } CB = 180° - \text{дуга } AC = 180° - 78° = 102°$

4. Искомый угол $∠CAB$ является вписанным и опирается на дугу $CB$. Его величина равна половине градусной меры этой дуги.
$∠CAB = \frac{1}{2} \cdot \text{дуга } CB = \frac{1}{2} \cdot 102° = 51°$

Ответ: $51°$.