Страница 71 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

18. На рисунке 85 изображены параллелограммы. Определите, не выполняя измерений, на каких рисунках величины углов или длины отрезков обозначены неверно (длины отрезков даны в сантиметрах).

Рис. 85

а

Внутренний угол при вершине B: $50^\circ$

Внутренний угол при вершине A: $20^\circ$

Угол между диагоналями: $80^\circ$

Вершины: A, B, C, D

б

Сторона BC: $8$

Сторона AD: $6$

Диагональ AC: $7$

Внутренний угол при вершине A: $80^\circ$

Внутренний угол при вершине D: $20^\circ$

Вершины: A, B, C, D

в

Сторона AB: $9$

Сторона BC: $10$

Угол ABC: $120^\circ$

Внутренний угол при вершине A: $40^\circ$

Вершины: A, B, C, D

18. На рисунке 85 изображены параллелограммы. Определите, не выполняя измерений, на каких рисунках величины углов или длины отрезков обозначены неверно (длины отрезков даны в сантиметрах).

Рис. 85

а

Даны углы: $\angle CBD = 50^\circ$, $\angle BDA = 80^\circ$, $\angle CAD = 20^\circ$.

б

Даны стороны, диагональ и углы: $BC = 8$, $BD = 7$, $\angle DAB = 80^\circ$, $\angle ADB = 20^\circ$.

в

Даны стороны и углы: $AB = 9$, $BC = 10$, $\angle ABC = 120^\circ$, $\angle ADC = 40^\circ$.

Для решения этой задачи мы будем использовать свойства параллелограмма и треугольников.

аВ параллелограмме $ABCD$ противоположные стороны параллельны, то есть $BC || AD$. Диагональ $BD$ является секущей. Следовательно, накрест лежащие углы $∠CBD$ и $∠BDA$ должны быть равны. По условию $∠CBD = 50°$, значит, и $∠BDA$ должен быть равен $50°$.Рассмотрим треугольник $AOD$, где $O$ – точка пересечения диагоналей. Сумма углов в треугольнике должна быть равна $180°$. В этом треугольнике нам известны углы: $∠OAD = 20°$, $∠ODA$ (то же, что и $∠BDA$) $= 50°$, и $∠AOD = 80°$ (как смежный с углом $80°$ между диагоналями, если $80°$ - это $∠BOC$, или как вертикальный, если это $∠AOD$ или $∠BOC$). Проверим сумму углов в треугольнике $AOD$:$∠OAD + ∠ODA + ∠AOD = 20° + 50° + 80° = 150°$.Сумма углов не равна $180°$ ($150° ≠ 180°$). Следовательно, данные на рисунке противоречат свойствам треугольника.Ответ: величины углов обозначены неверно.

бВ параллелограмме $ABCD$ противоположные стороны $AB$ и $CD$ параллельны. Диагональ $BD$ является секущей для этих параллельных прямых. Согласно свойству параллельных прямых, накрест лежащие углы $∠ABD$ и $∠BDC$ должны быть равны.На рисунке указано, что $∠ABD = 80°$, а $∠BDC = 20°$.Так как $80° ≠ 20°$, это противоречит свойству параллельных прямых.Ответ: величины углов обозначены неверно.

вВ параллелограмме $ABCD$ сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180°$. Значит, $∠A + ∠B = 180°$.По условию, $∠B = 120°$, следовательно, $∠A = 180° - 120° = 60°$.Угол $∠A$ состоит из двух углов: $∠BAC$ и $∠CAD$. Нам дан $∠CAD = 40°$. Тогда $∠BAC = ∠A - ∠CAD = 60° - 40° = 20°$.Противоположные стороны параллелограмма параллельны, то есть $BC || AD$. Диагональ $AC$ является секущей. Следовательно, накрест лежащие углы $∠BCA$ и $∠CAD$ равны. Так как $∠CAD = 40°$, то и $∠BCA = 40°$.Теперь проверим, выполняется ли теорема о сумме углов для треугольника $ABC$. Сумма его углов должна быть $180°$:$∠B + ∠BAC + ∠BCA = 120° + 20° + 40° = 180°$.Противоречий не найдено. Все указанные величины согласуются со свойствами параллелограмма.Ответ: величины углов и длин отрезков обозначены верно.

Таким образом, неверные обозначения присутствуют на рисунках а и б.

19. Биссектрисы углов $B$ и $C$ параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке $O$. Найдите сторону $BC$ параллелограмма, если $OC = 6 \text{ см}$ и $\angle BCO = 60^\circ$.

19. Биссектрисы углов $B$ и $C$ параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке $O$. Найдите сторону $BC$ параллелограмма, если $OC = 6$ см и $\angle BCO = 60^\circ$.

Поскольку $CO$ является биссектрисой угла $C$ параллелограмма $ABCD$, она делит угол $\angle BCD$ на два равных угла. Из условия нам известно, что $\angle BCO = 60^{\circ}$, следовательно, $\angle OCD$ также равен $60^{\circ}$.
Таким образом, весь угол $C$ параллелограмма равен:$\angle BCD = \angle BCO + \angle OCD = 60^{\circ} + 60^{\circ} = 120^{\circ}$.

В параллелограмме сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^{\circ}$. Углы $B$ и $C$ являются соседними, поэтому:$\angle ABC + \angle BCD = 180^{\circ}$.
Найдем величину угла $B$:$\angle ABC = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ}$.

$BO$ является биссектрисой угла $B$, поэтому она делит его пополам:$\angle OBC = \frac{\angle ABC}{2} = \frac{60^{\circ}}{2} = 30^{\circ}$.

Теперь рассмотрим треугольник $BOC$. Мы знаем два его угла: $\angle BCO = 60^{\circ}$ и $\angle OBC = 30^{\circ}$. Сумма углов в треугольнике равна $180^{\circ}$, поэтому третий угол $\angle BOC$ равен:$\angle BOC = 180^{\circ} - (\angle BCO + \angle OBC) = 180^{\circ} - (60^{\circ} + 30^{\circ}) = 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ}$.

Это означает, что треугольник $BOC$ — прямоугольный, где $BC$ — гипотенуза, а $OC$ и $OB$ — катеты. Мы можем найти длину гипотенузы $BC$, используя тригонометрические соотношения. Например, через косинус угла $\angle BCO$:$\cos(\angle BCO) = \frac{OC}{BC}$
$\cos(60^{\circ}) = \frac{6}{BC}$
Зная, что $\cos(60^{\circ}) = \frac{1}{2}$, получаем уравнение:$\frac{1}{2} = \frac{6}{BC}$
Отсюда $BC = 6 \cdot 2 = 12$ см.

Ответ: 12 см

20. В параллелограмме $ABCD$ известно, что $AD = 8$ см, $CD = 11$ см. Биссектриса угла $D$ пересекает сторону $AB$ в точке $K$. Найдите отрезки $AK$ и $KB$.

20. В параллелограмме $ABCD$ известно, что $AD = 8$ см, $CD = 11$ см. Биссектриса угла $D$ пересекает сторону $AB$ в точке $K$. Найдите отрезки $AK$ и $KB$.

Поскольку $ABCD$ — параллелограмм, его противолежащие стороны равны и параллельны. Из условия задачи имеем:

$AD = 8$ см

$CD = 11$ см

По свойству параллелограмма, $AB = CD = 11$ см и $BC = AD = 8$ см. Также, $AB \parallel CD$.

Прямая $DK$ является биссектрисой угла $D$. Это означает, что она делит угол $ADC$ на два равных угла:

$\angle ADK = \angle CDK$

Рассмотрим параллельные прямые $AB$ и $CD$ и секущую $DK$. Углы $\angle AKD$ и $\angle CDK$ являются внутренними накрест лежащими, следовательно, они равны:

$\angle AKD = \angle CDK$

Из двух полученных равенств следует, что:

$\angle ADK = \angle AKD$

Рассмотрим треугольник $\triangle ADK$. Так как два его угла ($\angle ADK$ и $\angle AKD$) равны, то этот треугольник является равнобедренным с основанием $DK$. В равнобедренном треугольнике боковые стороны, лежащие напротив равных углов, равны. Следовательно:

$AK = AD$

Поскольку $AD = 8$ см, то $AK = 8$ см.

Точка $K$ лежит на стороне $AB$, поэтому длина отрезка $AB$ равна сумме длин отрезков $AK$ и $KB$:

$AB = AK + KB$

Мы знаем, что $AB = 11$ см и $AK = 8$ см. Найдем длину отрезка $KB$:

$KB = AB - AK = 11 - 8 = 3$ см.

Ответ: $AK = 8$ см, $KB = 3$ см.

21. Биссектриса угла $C$ параллелограмма $ABCD$ делит сторону $AB$ в отношении $1 : 4$, считая от вершины угла $A$. Найдите стороны параллелограмма, если его периметр равен $72 \text{ см}$.

21. Биссектриса угла $C$ параллелограмма $ABCD$ делит сторону $AB$ в отношении 1 : 4, считая от вершины угла $A$. Найдите стороны параллелограмма, если его периметр равен 72 см.

Пусть $ABCD$ — данный параллелограмм. Пусть биссектриса угла $C$ пересекает сторону $AB$ в точке $E$.

По условию задачи, точка $E$ делит сторону $AB$ в отношении $AE : EB = 1 : 4$. Введем коэффициент пропорциональности $x$, тогда длины отрезков будут $AE = x$ и $EB = 4x$.

Длина всей стороны $AB$ будет равна сумме длин ее частей:$AB = AE + EB = x + 4x = 5x$.

Поскольку $ABCD$ — параллелограмм, его противоположные стороны параллельны, то есть $AB \parallel CD$. Прямая $CE$ является секущей для этих параллельных прямых. Углы $\angle DCE$ и $\angle CEB$ — накрест лежащие, следовательно, они равны: $\angle DCE = \angle CEB$.

По определению, $CE$ — биссектриса угла $C$, значит, она делит этот угол пополам: $\angle BCE = \angle DCE$.

Из двух приведенных выше равенств углов следует, что $\angle BCE = \angle CEB$.

Рассмотрим треугольник $BCE$. Так как два его угла равны ($\angle BCE = \angle CEB$), то этот треугольник является равнобедренным с основанием $CE$. В равнобедренном треугольнике боковые стороны равны, то есть $BC = EB$.

Поскольку $EB = 4x$, то и сторона $BC = 4x$.

Таким образом, смежные стороны параллелограмма равны $AB = 5x$ и $BC = 4x$.

Периметр параллелограмма вычисляется по формуле $P = 2(AB + BC)$. По условию, $P = 72$ см. Составим и решим уравнение:$2(5x + 4x) = 72$
$2 \cdot 9x = 72$
$18x = 72$
$x = \frac{72}{18}$
$x = 4$

Теперь, зная значение $x$, можем найти длины сторон параллелограмма:$AB = 5x = 5 \cdot 4 = 20$ см.
$BC = 4x = 4 \cdot 4 = 16$ см.

Противоположные стороны параллелограмма равны, поэтому $CD = AB = 20$ см и $AD = BC = 16$ см.

Ответ: стороны параллелограмма равны 16 см и 20 см.

22. В параллелограмме $ABCD$ угол $B$ равен $60^\circ$. Высота $AH$ делит сторону $BC$ в отношении $4 : 7$, считая от вершины острого угла. Найдите стороны параллелограмма, если его периметр равен $76$ см.

22. В параллелограмме $ABCD$ угол $B$ равен $60^\circ$. Высота $AH$ делит сторону $BC$ в отношении $4 : 7$, считая от вершины острого угла. Найдите стороны параллелограмма, если его периметр равен $76$ см.

Пусть $ABCD$ — данный параллелограмм. Известно, что $\angle B = 60°$. Поскольку в параллелограмме сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180°$, то $\angle C = 180° - \angle B = 180° - 60° = 120°$. Таким образом, $\angle B$ является острым углом, а $\angle C$ — тупым.

Проведена высота $AH$ к стороне $BC$. Это означает, что $AH \perp BC$ и треугольник $\triangle ABH$ является прямоугольным с гипотенузой $AB$ и катетами $AH$ и $BH$. В этом треугольнике $\angle B = 60°$. Из определения косинуса в прямоугольном треугольнике:$\cos(\angle B) = \frac{BH}{AB}$$BH = AB \cdot \cos(60°) = AB \cdot \frac{1}{2}$

По условию, точка $H$ делит сторону $BC$ в отношении $4:7$, считая от вершины острого угла $B$. Значит, $BH : HC = 4 : 7$.Введем коэффициент пропорциональности $x$. Тогда $BH = 4x$ и $HC = 7x$.Длина стороны $BC$ равна сумме длин отрезков $BH$ и $HC$:$BC = BH + HC = 4x + 7x = 11x$.

Теперь приравняем два выражения для $BH$:$AB \cdot \frac{1}{2} = 4x$$AB = 8x$

Таким образом, стороны параллелограмма равны $AB = 8x$ и $BC = 11x$.Периметр параллелограмма $P$ вычисляется по формуле $P = 2(AB + BC)$. По условию, $P = 76$ см. Составим и решим уравнение:$2(8x + 11x) = 76$$2 \cdot 19x = 76$$38x = 76$$x = \frac{76}{38}$$x = 2$

Теперь найдем длины сторон параллелограмма:$AB = 8x = 8 \cdot 2 = 16$ см.$BC = 11x = 11 \cdot 2 = 22$ см.

Ответ: стороны параллелограмма равны 16 см и 22 см.

23. Два угла параллелограмма относятся как 5 : 7. Найдите угол между высотами параллелограмма, проведёнными из вершины острого угла.

23. Два угла параллелограмма относятся как $5 : 7$. Найдите угол между высотами параллелограмма, проведёнными из вершины острого угла.

Пусть два соседних угла параллелограмма равны $ \angle \alpha $ и $ \angle \beta $. Сумма соседних углов параллелограмма равна $180^\circ$, то есть $ \angle \alpha + \angle \beta = 180^\circ $. По условию, эти углы относятся как 5 : 7.

Пусть $ \angle \alpha = 5x $, а $ \angle \beta = 7x $. Тогда их сумма:

$ 5x + 7x = 180^\circ $

$ 12x = 180^\circ $

$ x = \frac{180^\circ}{12} = 15^\circ $

Следовательно, углы параллелограмма равны:

Острый угол: $ \angle \alpha = 5 \times 15^\circ = 75^\circ $.

Тупой угол: $ \angle \beta = 7 \times 15^\circ = 105^\circ $.

Рассмотрим параллелограмм ABCD, в котором $ \angle A = \angle C = 75^\circ $ (острые углы) и $ \angle B = \angle D = 105^\circ $ (тупые углы).

Требуется найти угол между высотами, проведёнными из вершины острого угла. Возьмём вершину A. Из этой вершины можно провести две высоты: $ AH_1 $ к прямой, содержащей сторону BC, и $ AH_2 $ к прямой, содержащей сторону DC. Искомый угол — это $ \angle H_1AH_2 $.

Докажем, что этот угол равен тупому углу параллелограмма.

Поскольку сторона AB параллельна стороне DC, то высота $ AH_2 $, проведённая перпендикулярно к прямой DC, будет также перпендикулярна и прямой AB.

Поскольку сторона AD параллельна стороне BC, то высота $ AH_1 $, проведённая перпендикулярно к прямой BC, будет также перпендикулярна и прямой AD.

Рассмотрим две пересекающиеся прямые AB и AD, угол между которыми равен $ \angle DAB = 75^\circ $. И две другие пересекающиеся прямые $ AH_1 $ и $ AH_2 $, где $ AH_1 \perp AD $ и $ AH_2 \perp AB $. Угол между двумя прямыми равен углу между их перпендикулярами. Следовательно, угол между высотами $ AH_1 $ и $ AH_2 $ может быть равен либо $ 75^\circ $, либо $ 180^\circ - 75^\circ = 105^\circ $.

Чтобы определить, какой из углов является искомым, рассмотрим четырёхугольник, образованный вершиной C (также вершина острого угла) и основаниями высот, опущенных из неё на продолжения смежных сторон. Пусть $CE$ — высота к прямой $AB$, а $CF$ — высота к прямой $AD$. Так как углы B и D тупые, точки E и F будут лежать на продолжениях сторон. Рассмотрим четырёхугольник AECF. Сумма его углов равна $360^\circ$.

В этом четырёхугольнике:

• $ \angle FAE = \angle DAB = 75^\circ $ (угол параллелограмма).
• $ \angle AEC = 90^\circ $ (по построению высоты).
• $ \angle AFC = 90^\circ $ (по построению высоты).
• $ \angle FCE $ — искомый угол между высотами.

Сумма углов четырёхугольника AECF:

$ \angle FAE + \angle AEC + \angle AFC + \angle FCE = 360^\circ $

$ 75^\circ + 90^\circ + 90^\circ + \angle FCE = 360^\circ $

$ 255^\circ + \angle FCE = 360^\circ $

$ \angle FCE = 360^\circ - 255^\circ = 105^\circ $

Таким образом, угол между высотами параллелограмма, проведёнными из вершины острого угла, равен тупому углу параллелограмма.

Ответ: $105^\circ$.

24. В параллелограмме $ABCD$ проведены высоты $BH$ и $DE$. Найдите периметр параллелограмма, если $BH = 10 \text{ см}$, $DE = 7 \text{ см}$, $\angle ABC = 150^\circ$.

24. В параллелограмме $ABCD$ проведены высоты $BH$ и $DE$. Найдите периметр параллелограмма, если $BH = 10 \text{ см}$, $DE = 7 \text{ см}$, $\angle ABC = 150^\circ$.

Пусть дан параллелограмм $ABCD$. По условию один из его углов, $\angle ABC$, равен $150^\circ$. В параллелограмме сумма углов, прилежащих к одной стороне, составляет $180^\circ$. Следовательно, мы можем найти острый угол параллелограмма, $\angle BCD$:

$\angle BCD = 180^\circ - \angle ABC = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$.

Высота $BH$ проведена из вершины $B$ к прямой, содержащей сторону $CD$. Таким образом, образуется прямоугольный треугольник $\triangle BHC$ с прямым углом $\angle BHC$. В этом треугольнике угол $\angle C$ равен острому углу параллелограмма, то есть $\angle C = 30^\circ$. Используя определение синуса, мы можем найти длину стороны $BC$, которая является гипотенузой в этом треугольнике:

$\sin(\angle C) = \frac{BH}{BC}$

$BC = \frac{BH}{\sin(30^\circ)} = \frac{10 \text{ см}}{1/2} = 20 \text{ см}$.

Высота $DE$ проведена из вершины $D$ к прямой, содержащей сторону $BC$. Таким образом, образуется прямоугольный треугольник $\triangle DEC$ с прямым углом $\angle DEC$. В этом треугольнике угол $\angle C$ также равен $30^\circ$. Используя определение синуса, мы можем найти длину стороны $CD$, которая является гипотенузой в этом треугольнике:

$\sin(\angle C) = \frac{DE}{CD}$

$CD = \frac{DE}{\sin(30^\circ)} = \frac{7 \text{ см}}{1/2} = 14 \text{ см}$.

Теперь, когда мы нашли длины двух смежных сторон параллелограмма ($BC = 20$ см и $CD = 14$ см), мы можем вычислить его периметр. Периметр параллелограмма $P$ равен удвоенной сумме его смежных сторон:

$P = 2 \cdot (BC + CD) = 2 \cdot (20 + 14) = 2 \cdot 34 = 68 \text{ см}$.

Ответ: 68 см.

25. На основании равнобедренного треугольника отмечена произвольная точка и через неё проведены прямые, параллельные его боковым сторонам. Найдите периметр полученного параллелограмма, если боковая сторона равнобедренного треугольника равна 10 см.

25. На основании равнобедренного треугольника отмечена произвольная точка и через неё проведены прямые, параллельные его боковым сторонам. Найдите периметр полученного параллелограмма, если боковая сторона равнобедренного треугольника равна 10 см.

Обозначим данный равнобедренный треугольник как $ABC$, где $AB$ и $BC$ — равные боковые стороны, а $AC$ — основание. По условию, $AB = BC = 10$ см. Пусть $D$ — произвольная точка на основании $AC$. Через точку $D$ проведены прямые $DF$ и $DE$, где точка $F$ лежит на стороне $AB$, а точка $E$ — на стороне $BC$. По условию, $DF \parallel BC$ и $DE \parallel AB$.

Рассмотрим четырехугольник $FBED$. Так как его противоположные стороны попарно параллельны по построению ($DF \parallel BE$ и $DE \parallel FB$), то $FBED$ является параллелограммом по определению.

Периметр параллелограмма $FBED$ равен сумме длин его сторон: $P_{FBED} = FB + BE + ED + DF$.

Найдем соотношения между сторонами получившихся фигур.

1. Так как треугольник $ABC$ равнобедренный, углы при его основании равны: $\angle BAC = \angle BCA$. Поскольку прямая $DE$ параллельна $AB$, то углы $\angle EDC$ и $\angle BAC$ равны как соответственные при параллельных прямых $DE, AB$ и секущей $AC$. Таким образом, $\angle EDC = \angle BAC$. Отсюда следует, что $\angle EDC = \angle BCA$. В треугольнике $DEC$ угол при вершине $D$ ($\angle EDC$) равен углу при вершине $C$ ($\angle ECD$), следовательно, треугольник $DEC$ является равнобедренным, и $DE = EC$.

2. Поскольку прямая $DF$ параллельна $BC$, то сумма внутренних односторонних углов при секущей $AC$ равна $180^\circ$, то есть $\angle FDC + \angle BCA = 180^\circ$. Углы $\angle ADF$ и $\angle FDC$ являются смежными, поэтому их сумма также равна $180^\circ$: $\angle ADF + \angle FDC = 180^\circ$. Сравнивая эти два равенства, получаем, что $\angle ADF = \angle BCA$. А так как $\angle BCA = \angle BAC$, то $\angle ADF = \angle BAC$. В треугольнике $AFD$ угол при вершине $A$ ($\angle FAD$) равен углу при вершине $D$ ($\angle ADF$), следовательно, треугольник $AFD$ также является равнобедренным, и $DF = AF$.

Теперь вычислим периметр параллелограмма, подставив в формулу найденные равенства $DE = EC$ и $DF = AF$:
$P_{FBED} = FB + BE + DE + DF = FB + BE + EC + AF$.

Сгруппируем слагаемые следующим образом:
$P_{FBED} = (AF + FB) + (BE + EC)$.
Сумма $(AF + FB)$ равна длине стороны $AB$, а сумма $(BE + EC)$ равна длине стороны $BC$.
Таким образом, периметр параллелограмма равен сумме длин боковых сторон исходного треугольника:
$P_{FBED} = AB + BC$.

Подставляя заданное значение длины боковой стороны, получаем:
$P_{FBED} = 10 \text{ см} + 10 \text{ см} = 20 \text{ см}$.

Ответ: 20 см.