Страница 67 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

262. Через вершину треугольника проведите прямую так, чтобы она разбила его на два треугольника, площади которых относятся как $3:1$.

262. Через вершину треугольника проведите прямую так, чтобы она разбила его на два треугольника, площади которых относятся как $3:1$.

Пусть дан треугольник $ABC$. Задача состоит в том, чтобы провести прямую через одну из его вершин (например, вершину $B$) так, чтобы она разделила треугольник на два меньших треугольника, площади которых относятся как $3:1$.

Такая прямая пересечет противолежащую сторону $AC$ в некоторой точке $D$. В результате исходный треугольник $ABC$ будет разделен на два треугольника: $\triangle ABD$ и $\triangle CBD$.

Площадь треугольника определяется формулой $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h$, где $a$ — длина основания, а $h$ — высота, проведенная к этому основанию.

Проведем высоту $BH$ из вершины $B$ на сторону $AC$. Эта высота является общей для обоих полученных треугольников $\triangle ABD$ и $\triangle CBD$.

Площадь треугольника $\triangle ABD$ с основанием $AD$ равна: $S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot BH$.

Площадь треугольника $\triangle CBD$ с основанием $CD$ равна: $S_{CBD} = \frac{1}{2} \cdot CD \cdot BH$.

Теперь найдем отношение площадей этих двух треугольников: $$ \frac{S_{ABD}}{S_{CBD}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot AD \cdot BH}{\frac{1}{2} \cdot CD \cdot BH} $$

Сократив общие множители $\frac{1}{2}$ и $BH$, получим: $$ \frac{S_{ABD}}{S_{CBD}} = \frac{AD}{CD} $$

Это означает, что отношение площадей двух треугольников, имеющих общую высоту, равно отношению длин их оснований.

По условию задачи, отношение площадей должно быть $3:1$. Следовательно, отношение отрезков, на которые точка $D$ делит сторону $AC$, также должно быть $3:1$. То есть: $$ \frac{AD}{CD} = \frac{3}{1} \quad \text{или} \quad \frac{AD}{CD} = \frac{1}{3} $$

Таким образом, для решения задачи необходимо выполнить следующее построение:
1. Выбрать любую вершину треугольника, например $B$.
2. Разделить противолежащую ей сторону $AC$ на четыре равные части.
3. Найти на стороне $AC$ точку $D$, которая делит ее в отношении $3:1$. Такая точка будет находиться на расстоянии $\frac{1}{4}$ длины стороны от одного из концов ($C$ или $A$) и $\frac{3}{4}$ от другого.
4. Провести прямую через выбранную вершину $B$ и найденную точку $D$.

Эта прямая разделит исходный треугольник на два треугольника, площади которых будут относиться как $3:1$.

Ответ: Необходимо провести прямую через одну из вершин треугольника и точку на противолежащей стороне, которая делит эту сторону в отношении $3:1$.

263. Найдите площадь трапеции, основания которой равны 12 см и 15 см, а высота — 6 см.

263. Найдите площадь трапеции, основания которой равны 12 см и 15 см, а высота — 6 см.

Для нахождения площади трапеции используется следующая формула:
$S = \frac{a + b}{2} \cdot h$,
где $a$ и $b$ — длины оснований трапеции, а $h$ — её высота.

В условии задачи даны все необходимые значения:
- Длина одного основания $a = 12$ см.
- Длина второго основания $b = 15$ см.
- Высота $h = 6$ см.

Подставим эти значения в формулу:
$S = \frac{12 + 15}{2} \cdot 6$

Выполним вычисления по шагам:
1. Найдём сумму длин оснований:
$12 + 15 = 27$ см.
2. Подставим полученное значение в формулу и вычислим площадь:
$S = \frac{27}{2} \cdot 6 = 27 \cdot \frac{6}{2} = 27 \cdot 3 = 81$ см².

Ответ: 81 см².

264. Основания трапеции равны 9 см и 11 см, а площадь — 150 $cm^2$. Найдите высоту трапеции.

264. Основания трапеции равны $9\text{ см}$ и $11\text{ см}$, а площадь – $150\text{ см}^2$. Найдите высоту трапеции.

Площадь трапеции ($S$) вычисляется по формуле, которая связывает ее основания ($a$ и $b$) и высоту ($h$):
$S = \frac{a+b}{2} \cdot h$

Согласно условию задачи, нам даны следующие значения:
Длина первого основания $a = 9$ см.
Длина второго основания $b = 11$ см.
Площадь трапеции $S = 150$ см².

Наша цель — найти высоту $h$. Для этого подставим известные данные в формулу площади:
$150 = \frac{9+11}{2} \cdot h$

Теперь решим полученное уравнение. Сначала упростим выражение в числителе дроби:
$150 = \frac{20}{2} \cdot h$

Выполним деление:
$150 = 10 \cdot h$

Чтобы найти $h$, разделим обе части уравнения на 10:
$h = \frac{150}{10}$
$h = 15$ см.

Ответ: 15 см.

265. Площадь трапеции равна 96 $\text{см}^2$, а её высота — 8 см. Найдите основания трапеции, если их разность равна 9 см.

265. Площадь трапеции равна 96 $см^2$, а её высота – 8 см.
Найдите основания трапеции, если их разность равна
9 см.

Обозначим основания трапеции как a и b, где a — большее основание, а b — меньшее. Высоту обозначим как h, а площадь — как S.

Согласно условию задачи, мы имеем следующие данные:

• Площадь $S = 96$ см²
• Высота $h = 8$ см
• Разность оснований $a - b = 9$ см

Формула для вычисления площади трапеции выглядит так:

$S = \frac{a+b}{2} \cdot h$

Подставим известные значения площади и высоты в эту формулу, чтобы найти сумму оснований:

$96 = \frac{a+b}{2} \cdot 8$

Сначала найдем полусумму оснований (среднюю линию), разделив обе части уравнения на высоту h:

$\frac{a+b}{2} = \frac{96}{8}$

$\frac{a+b}{2} = 12$

Теперь найдем сумму оснований, умножив результат на 2:

$a+b = 12 \cdot 2$

$a+b = 24$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя переменными:

1) $a - b = 9$
2) $a + b = 24$

Чтобы решить эту систему, можно сложить два уравнения. Это позволит нам исключить переменную b:

$(a - b) + (a + b) = 9 + 24$

$2a = 33$

$a = \frac{33}{2}$

$a = 16.5$ см

Теперь, зная значение a, мы можем найти b, подставив его в любое из уравнений. Используем второе уравнение:

$16.5 + b = 24$

$b = 24 - 16.5$

$b = 7.5$ см

Таким образом, мы нашли длины обоих оснований трапеции. Проверим, соответствует ли их разность условию задачи: $16.5 - 7.5 = 9$ см. Условие выполняется.

Ответ: основания трапеции равны 16,5 см и 7,5 см.

266. Найдите площадь трапеции, основания которой равны 8 см и 14 см, а боковая сторона равна 10 см и образует с меньшим основанием угол $30^\circ$.

266. Найдите площадь трапеции, основания которой равны 8 см и 14 см, а боковая сторона равна 10 см и образует с меньшим основанием угол $30^\circ$.

Для нахождения площади трапеции воспользуемся формулой:$S = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где $a$ и $b$ — длины оснований, а $h$ — высота трапеции.

По условию задачи, основания трапеции равны $a = 8$ см и $b = 14$ см. Боковая сторона равна $l = 10$ см. Чтобы найти площадь, нам необходимо определить высоту $h$.

Пусть дана трапеция $ABCD$, в которой $BC$ — меньшее основание ($BC = 8$ см), а $AD$ — большее основание ($AD = 14$ см). Пусть боковая сторона $AB$ равна 10 см. Угол, который боковая сторона $AB$ образует с меньшим основанием $BC$, — это угол $\angle ABC$. Однако в стандартной трапеции этот угол является тупым. Фраза "образует с меньшим основанием угол 30°" обычно интерпретируется как равенство 30° острого угла, который эта боковая сторона образует с основанием.

Поскольку основания $BC$ и $AD$ параллельны, сумма углов при боковой стороне $AB$ равна 180°. То есть, $\angle ABC + \angle BAD = 180^\circ$.Острый угол при боковой стороне $AB$ будет с большим основанием $AD$ (угол $\angle BAD$), а тупой — с меньшим основанием $BC$ (угол $\angle ABC$). Таким образом, если угол с большим основанием равен $30^\circ$, то угол с меньшим основанием будет $180^\circ - 30^\circ = 150^\circ$. Условие "образует с меньшим основанием угол 30°" можно понять как то, что острый угол между прямой, содержащей боковую сторону, и прямой, содержащей меньшее основание, равен 30°. Этот угол будет равен углу при большем основании.

Итак, примем, что угол при большем основании равен $30^\circ$. Проведем высоту $BH$ из вершины $B$ к большему основанию $AD$. Получим прямоугольный треугольник $ABH$.

В треугольнике $ABH$:

• гипотенуза $AB = 10$ см;
• угол $\angle BAH = 30^\circ$;
• катет $BH$ является высотой трапеции $h$.

Высоту $h$ можно найти как катет, лежащий напротив угла в $30^\circ$:$h = BH = AB \cdot \sin(\angle BAH)$$h = 10 \cdot \sin(30^\circ) = 10 \cdot \frac{1}{2} = 5$ см.

Теперь, когда известна высота, мы можем вычислить площадь трапеции:$S = \frac{8 + 14}{2} \cdot 5 = \frac{22}{2} \cdot 5 = 11 \cdot 5 = 55$ см².

Ответ: $55$ см².

267. Основания равнобокой трапеции равны 9 см и 27 см, а диагональ — 30 см. Найдите площадь трапеции.

267. Основания равнобокой трапеции равны 9 см и 27 см, а диагональ — 30 см. Найдите площадь трапеции.

Для нахождения площади трапеции воспользуемся формулой: $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где $a$ и $b$ — основания, а $h$ — высота.

По условию задачи, основания равнобокой трапеции равны $a = 9$ см и $b = 27$ см, а диагональ $d = 30$ см. Нам необходимо найти высоту $h$.

Пусть дана равнобокая трапеция ABCD, где $AD = 27$ см — большее основание, $BC = 9$ см — меньшее основание, и $AC = 30$ см — диагональ. Проведем из вершины C высоту CH на основание AD. Получим прямоугольный треугольник ACH, в котором AC — гипотенуза, а CH и AH — катеты. Высота трапеции $h$ равна катету CH.

Чтобы найти катет CH, нам нужно сначала найти длину катета AH. В равнобокой трапеции отрезок, отсекаемый высотой, проведенной из вершины тупого угла к большему основанию, равен полусумме оснований, а отрезок от вершины до основания высоты равен полуразности оснований. В нашем случае, если провести вторую высоту BK из вершины B, то отрезок $HD = \frac{AD - BC}{2}$.

Вычислим длину отрезка HD:

$HD = \frac{27 - 9}{2} = \frac{18}{2} = 9$ см.

Теперь найдем длину отрезка AH. Так как CH — высота, точка H лежит на основании AD. Длина AH равна разности длины большего основания AD и длины отрезка HD.

$AH = AD - HD = 27 - 9 = 18$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник ACH. По теореме Пифагора:

$AC^2 = AH^2 + CH^2$

Отсюда можем выразить высоту $h = CH$:

$h^2 = AC^2 - AH^2$

$h^2 = 30^2 - 18^2 = 900 - 324 = 576$

$h = \sqrt{576} = 24$ см.

Теперь, когда мы знаем высоту, мы можем вычислить площадь трапеции:

$S = \frac{a+b}{2} \cdot h = \frac{9+27}{2} \cdot 24 = \frac{36}{2} \cdot 24 = 18 \cdot 24 = 432$ см$^2$.

Ответ: 432 см$^2$.

268. Найдите площадь равнобокой трапеции, меньшее основание которой равно 7 см, боковая сторона — $5\sqrt{2}$ см, а угол при меньшем основании — $135^\circ$.

268. Найдите площадь равнобокой трапеции, меньшее основание которой равно 7 см, боковая сторона – $5\sqrt{2}$ см, а угол при меньшем основании – $135^{\circ}$.

Пусть дана равнобокая трапеция ABCD, где BC и AD — основания.
Из условия задачи нам известны:
• меньшее основание $b = BC = 7$ см;
• боковая сторона $l = AB = CD = 5\sqrt{2}$ см;
• угол при меньшем основании $\angle B = \angle C = 135^\circ$.

Площадь трапеции находится по формуле: $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где $a$ — большее основание, $b$ — меньшее основание, а $h$ — высота.

1. Найдем угол при большем основании.
Сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне трапеции, равна $180^\circ$. Следовательно, угол при большем основании:
$\angle A = 180^\circ - \angle B = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ$.

2. Найдем высоту трапеции.
Проведем из вершины B высоту BH к основанию AD. Мы получим прямоугольный треугольник ABH, в котором гипотенуза AB равна $5\sqrt{2}$ см, а угол $\angle A = 45^\circ$.
Высота трапеции $h$ равна катету BH. Найдем его через синус угла A:
$h = BH = AB \cdot \sin(\angle A) = 5\sqrt{2} \cdot \sin(45^\circ)$.
Поскольку $\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, то:
$h = 5\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 5 \cdot \frac{2}{2} = 5$ см.

3. Найдем большее основание.
В прямоугольном треугольнике ABH найдем катет AH.
$AH = AB \cdot \cos(\angle A) = 5\sqrt{2} \cdot \cos(45^\circ) = 5\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 5$ см.
Так как трапеция равнобокая, если провести вторую высоту CE из вершины C, то отрезок $ED$ будет равен отрезку $AH$.
$ED = AH = 5$ см.
Большее основание $a = AD$ состоит из суммы отрезков $AH$, $HE$ и $ED$. Отрезок $HE$ равен меньшему основанию BC, т.е. $HE = 7$ см.
$a = AD = AH + HE + ED = 5 + 7 + 5 = 17$ см.

4. Вычислим площадь трапеции.
Теперь у нас есть все необходимые данные для расчета площади:
$S = \frac{a+b}{2} \cdot h = \frac{17+7}{2} \cdot 5 = \frac{24}{2} \cdot 5 = 12 \cdot 5 = 60$ см².

Ответ: $60$ см².

269. Найдите площадь трапеции ABCD, изображённой на рисунке 82 (длины отрезков даны в сантиметрах).

Рис. 82

a

AB = 12, BC = 6, CD = $3\sqrt{21}$, $\angle A = 60^\circ$

б

CD = 4, $\angle A = 30^\circ$, $\angle D = 90^\circ$

269. Найдите площадь трапеции ABCD, изображённой на рисунке 82 (длины отрезков даны в сантиметрах).

Рис. 82

а

Трапеция ABCD со сторонами AB = 12, BC = 6, CD = $3\sqrt{21}$ и углом A = $60^\circ$.

б

Трапеция ABCD со стороной CD = 4, углом A = $30^\circ$ и углом D = $90^\circ$. Стороны AB и BC равны.

а)

Площадь трапеции вычисляется по формуле $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где $a$ и $b$ — длины оснований, а $h$ — высота.

1. Проведём высоту $BH$ из вершины $B$ на основание $AD$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$. Угол $\angle A = 60^{\circ}$, гипотенуза $AB = 12$ см.

2. Найдём высоту трапеции $h = BH$:

$h = BH = AB \cdot \sin(\angle A) = 12 \cdot \sin(60^{\circ}) = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$ см.

3. Найдём отрезок $AH$, который является проекцией стороны $AB$ на основание $AD$:

$AH = AB \cdot \cos(\angle A) = 12 \cdot \cos(60^{\circ}) = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6$ см.

4. Проведём высоту $CK$ из вершины $C$ на основание $AD$. Высота $CK = BH = 6\sqrt{3}$ см. Рассмотрим прямоугольный треугольник $CKD$. Гипотенуза $CD = 3\sqrt{21}$ см.

5. По теореме Пифагора найдём отрезок $KD$:

$KD^2 = CD^2 - CK^2 = (3\sqrt{21})^2 - (6\sqrt{3})^2 = 9 \cdot 21 - 36 \cdot 3 = 189 - 108 = 81$.

$KD = \sqrt{81} = 9$ см.

6. Нижнее основание $AD$ равно сумме отрезков $AH$, $HK$ и $KD$. Отрезок $HK$ равен верхнему основанию $BC$, так как $BCKH$ — прямоугольник. $HK = BC = 6$ см.

$AD = AH + HK + KD = 6 + 6 + 9 = 21$ см.

7. Теперь вычислим площадь трапеции:

$S = \frac{AD+BC}{2} \cdot h = \frac{21+6}{2} \cdot 6\sqrt{3} = \frac{27}{2} \cdot 6\sqrt{3} = 27 \cdot 3\sqrt{3} = 81\sqrt{3}$ см².

Ответ: $81\sqrt{3}$ см².

б)

Данная трапеция $ABCD$ является прямоугольной, так как угол $\angle D = 90^{\circ}$. Следовательно, её боковая сторона $CD$ является высотой, $h = CD = 4$ см. По отметкам на чертеже $AB = BC$.

1. Проведём высоту $BH$ из вершины $B$ на основание $AD$. Так как $BCDH$ — прямоугольник, то $BH = CD = 4$ см и $HD = BC$.

2. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$. Угол $\angle A = 30^{\circ}$, катет $BH = 4$ см.

3. Найдём гипотенузу $AB$. Катет, лежащий против угла в $30^{\circ}$, равен половине гипотенузы, поэтому $AB = 2 \cdot BH = 2 \cdot 4 = 8$ см.

4. Так как $BC = AB$, то верхнее основание $BC = 8$ см.

5. Найдём второй катет $AH$ в треугольнике $ABH$ по теореме Пифагора:

$AH^2 = AB^2 - BH^2 = 8^2 - 4^2 = 64 - 16 = 48$.

$AH = \sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3}$ см.

6. Нижнее основание $AD = AH + HD$. Так как $HD = BC = 8$ см, то $AD = 4\sqrt{3} + 8$ см.

7. Вычислим площадь трапеции:

$S = \frac{AD+BC}{2} \cdot h = \frac{(4\sqrt{3} + 8) + 8}{2} \cdot 4 = \frac{16 + 4\sqrt{3}}{2} \cdot 4 = (8 + 2\sqrt{3}) \cdot 4 = 32 + 8\sqrt{3}$ см².

Ответ: $32 + 8\sqrt{3}$ см².

270. Основания прямоугольной трапеции равны 3 см и 5 см. Найдите площадь трапеции, если её большая диагональ является биссектрисой прямого угла трапеции.

270. Основания прямоугольной трапеции равны 3 см и 5 см. Найдите площадь трапеции, если её большая диагональ является биссектрисой прямого угла трапеции.

Пусть дана прямоугольная трапеция $ABCD$, в которой основания $AD$ и $BC$ параллельны, а боковая сторона $AB$ перпендикулярна основаниям. Это означает, что углы $\angle A$ и $\angle B$ прямые, а высота трапеции равна длине стороны $AB$.

По условию, основания равны 3 см и 5 см. Пусть меньшее основание $BC = 3$ см, а большее основание $AD = 5$ см. Высота трапеции $h = AB$.

В трапеции две диагонали: $AC$ и $BD$. Чтобы определить, какая из них большая, рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle ABD$. Применим к ним теорему Пифагора:

$AC^2 = AB^2 + BC^2 = h^2 + 3^2 = h^2 + 9$

$BD^2 = AB^2 + AD^2 = h^2 + 5^2 = h^2 + 25$

Так как $5^2 > 3^2$, то $h^2 + 25 > h^2 + 9$, а значит $BD^2 > AC^2$. Следовательно, $BD$ является большей диагональю трапеции.

Согласно условию, большая диагональ ($BD$) является биссектрисой прямого угла. Диагональ $BD$ выходит из вершины $B$, где угол $\angle B = 90^\circ$. Таким образом, $BD$ делит угол $\angle B$ на два равных угла:

$\angle ABD = \angle DBC = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABD$. Нам известно, что $\angle A = 90^\circ$ и $\angle ABD = 45^\circ$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому мы можем найти третий угол:

$\angle ADB = 180^\circ - \angle A - \angle ABD = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$

Поскольку в треугольнике $\triangle ABD$ два угла равны ($\angle ABD = \angle ADB = 45^\circ$), этот треугольник является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике стороны, противолежащие равным углам, равны. Значит, $AB = AD$.

Так как длина основания $AD = 5$ см, то и высота трапеции $h = AB = 5$ см.

Площадь трапеции вычисляется по формуле:

$S = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где $a$ и $b$ — основания, а $h$ — высота.

Подставим известные значения:

$S = \frac{5 + 3}{2} \cdot 5 = \frac{8}{2} \cdot 5 = 4 \cdot 5 = 20$ см².

Ответ: 20 см².