Страница 60 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

197. Найдите $\sin\alpha$, $\cos\alpha$ и $\text{tg}\alpha$, если $\text{ctg}\alpha = \frac{1}{3}$.

197. Найдите $\sin\alpha$, $\cos\alpha$ и $\text{tg}\alpha$, если $\text{ctg}\alpha = \frac{1}{3}$.

По условию задачи дано значение котангенса: $ctg\alpha = \frac{1}{3}$.

Поскольку $ctg\alpha$ имеет положительное значение, угол $\alpha$ может находиться либо в первой, либо в третьей координатной четверти. Это означает, что $sin\alpha$ и $cos\alpha$ будут либо оба положительными (I четверть), либо оба отрицательными (III четверть). Мы рассмотрим оба возможных случая.

tgα

Тангенс и котангенс являются взаимно обратными величинами. Для нахождения $tg\alpha$ воспользуемся формулой:

$tg\alpha = \frac{1}{ctg\alpha}$

Подставим известное значение $ctg\alpha$:

$tg\alpha = \frac{1}{1/3} = 3$

Ответ: $tg\alpha = 3$.

sinα

Для нахождения синуса воспользуемся основным тригонометрическим тождеством, связывающим синус и котангенс:

$1 + ctg^2\alpha = \frac{1}{sin^2\alpha}$

Подставим значение $ctg\alpha = \frac{1}{3}$ в формулу:

$1 + (\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{sin^2\alpha}$

$1 + \frac{1}{9} = \frac{1}{sin^2\alpha}$

$\frac{10}{9} = \frac{1}{sin^2\alpha}$

Отсюда выражаем $sin^2\alpha$:

$sin^2\alpha = \frac{9}{10}$

Теперь извлечем квадратный корень. Как мы определили ранее, $sin\alpha$ может быть как положительным (для I четверти), так и отрицательным (для III четверти).

$sin\alpha = \pm\sqrt{\frac{9}{10}} = \pm\frac{3}{\sqrt{10}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{10}$:

$sin\alpha = \pm\frac{3\sqrt{10}}{10}$

Ответ: $sin\alpha = \frac{3\sqrt{10}}{10}$ или $sin\alpha = -\frac{3\sqrt{10}}{10}$.

cosα

Для нахождения косинуса воспользуемся определением котангенса: $ctg\alpha = \frac{cos\alpha}{sin\alpha}$. Выразим отсюда $cos\alpha$:

$cos\alpha = ctg\alpha \cdot sin\alpha$

Подставим известные значения $ctg\alpha$ и найденные значения $sin\alpha$:

$cos\alpha = \frac{1}{3} \cdot (\pm\frac{3\sqrt{10}}{10}) = \pm\frac{\sqrt{10}}{10}$

Знак косинуса должен соответствовать знаку синуса в зависимости от четверти:

1. Если угол $\alpha$ находится в I четверти, то $sin\alpha > 0$ и $cos\alpha > 0$.
В этом случае: $sin\alpha = \frac{3\sqrt{10}}{10}$ и $cos\alpha = \frac{\sqrt{10}}{10}$.

2. Если угол $\alpha$ находится в III четверти, то $sin\alpha < 0$ и $cos\alpha < 0$.
В этом случае: $sin\alpha = -\frac{3\sqrt{10}}{10}$ и $cos\alpha = -\frac{\sqrt{10}}{10}$.

Ответ: $cos\alpha = \frac{\sqrt{10}}{10}$ или $cos\alpha = -\frac{\sqrt{10}}{10}$.

198. Основание равнобедренного треугольника равно 10 см, а боковая сторона — 13 см. Найдите тангенс угла при основании треугольника.

198. Основание равнобедренного треугольника равно 10 см, а боковая сторона — 13 см. Найдите тангенс угла при основании треугольника.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$, в котором $AC$ — основание, а $AB$ и $BC$ — боковые стороны. Согласно условию, длина основания $AC = 10$ см, а длина боковых сторон $AB = BC = 13$ см. Необходимо найти тангенс угла при основании, например, угла $A$ ($\angle BAC$).

Для нахождения тригонометрических функций угла нам потребуется прямоугольный треугольник. Проведем из вершины $B$ высоту $BH$ к основанию $AC$.

В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой и биссектрисой.

• Так как $BH$ — высота, то она перпендикулярна основанию $AC$, и, следовательно, треугольники $ABH$ и $CBH$ являются прямоугольными ($\angle BHA = 90^\circ$).
• Так как $BH$ — медиана, она делит основание $AC$ на два равных отрезка: $AH = HC = \frac{AC}{2}$.

Вычислим длину отрезка $AH$: $AH = \frac{10}{2} = 5$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$. В нем известны:

• гипотенуза $AB = 13$ см (боковая сторона исходного треугольника).
• катет $AH = 5$ см.

Найдем длину второго катета $BH$ (высоты) с помощью теоремы Пифагора: $AB^2 = AH^2 + BH^2$. $BH^2 = AB^2 - AH^2$ $BH^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144$ $BH = \sqrt{144} = 12$ см.

Тангенс угла в прямоугольном треугольнике определяется как отношение противолежащего катета к прилежащему. Для угла $A$ в треугольнике $ABH$: $\tan(\angle A) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{BH}{AH}$

Подставим известные значения: $\tan(\angle A) = \frac{12}{5}$

Тангенс угла при основании равен $\frac{12}{5}$, что в виде десятичной дроби составляет 2,4.

Ответ: $\frac{12}{5}$.

199. В равнобокой трапеции ABCD известно, что $AB = CD = 2$ см, $BC = 6\sqrt{2}$ см, $AD = 8\sqrt{2}$ см. Найдите углы трапеции.

199. В равнобокой трапеции $ABCD$ известно, что $AB = CD = 2$ см, $BC = 6\sqrt{2}$ см, $AD = 8\sqrt{2}$ см. Найдите углы трапеции.

Пусть дана равнобокая трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. Известны длины сторон: боковые стороны $AB = CD = 2$ см, меньшее основание $BC = 6\sqrt{2}$ см, большее основание $AD = 8\sqrt{2}$ см.

Для нахождения углов трапеции опустим из вершин $B$ и $C$ высоты $BH$ и $CK$ на большее основание $AD$.

Так как трапеция является равнобокой, треугольники $\triangle ABH$ и $\triangle DCK$ равны (по гипотенузе и катету). Следовательно, отрезки $AH$ и $KD$ равны.

Четырехугольник $HBCK$ является прямоугольником, поскольку $BC \parallel HK$ и $BH \parallel CK$ (как перпендикуляры к одной прямой $AD$). Отсюда следует, что $HK = BC = 6\sqrt{2}$ см.

Длина большего основания $AD$ равна сумме длин отрезков, на которые его разбивают высоты:

$AD = AH + HK + KD$

Так как $AH = KD$, мы можем записать:

$AD = 2 \cdot AH + HK$

Подставим известные значения в это уравнение и найдем $AH$:

$8\sqrt{2} = 2 \cdot AH + 6\sqrt{2}$

$2 \cdot AH = 8\sqrt{2} - 6\sqrt{2}$

$2 \cdot AH = 2\sqrt{2}$

$AH = \sqrt{2}$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABH$. В нем известна гипотенуза $AB = 2$ см и катет $AH = \sqrt{2}$ см. Мы можем найти угол $\angle A$ (он же $\angle BAH$) с помощью косинуса:

$\cos(\angle A) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{AH}{AB} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Это значение косинуса соответствует углу $45^{\circ}$. Таким образом, $\angle A = 45^{\circ}$.

В равнобокой трапеции углы при каждом основании равны. Следовательно:

$\angle D = \angle A = 45^{\circ}$.

Сумма углов, прилежащих к боковой стороне трапеции, равна $180^{\circ}$. Найдем угол $\angle B$:

$\angle B = 180^{\circ} - \angle A = 180^{\circ} - 45^{\circ} = 135^{\circ}$

Соответственно, $\angle C = \angle B = 135^{\circ}$.

Таким образом, углы трапеции равны $45^{\circ}$, $135^{\circ}$, $135^{\circ}$ и $45^{\circ}$.

Ответ: $45^{\circ}, 135^{\circ}, 135^{\circ}, 45^{\circ}$.

200. Найдите неизвестные стороны прямоугольного тре-угольника $ABC (\angle C = 90^\circ)$, если:

1) $AC = 3$ см, $\cos A = \frac{1}{4}$;

2) $BC = 5$ см, $\sin A = \frac{2}{3}$;

3) $AC = 8$ см, $\operatorname{tg} B = 3$;

4) $AC = 6$ см, $\cos B = \frac{1}{3}$;

5) $AB = 12$ см, $\cos B = \frac{4}{5}$;

6) $AB = 8$ см, $\operatorname{ctg} B = \frac{6}{7}$.

200. Найдите неизвестные стороны прямоугольного треугольника ABC ($\angle C = 90^\circ$), если:

1) $AC = 3 \text{ см}, \cos A = \frac{1}{4};$

2) $BC = 5 \text{ см}, \sin A = \frac{2}{3};$

3) $AC = 8 \text{ см}, \text{tg} B = 3;$

4) $AC = 6 \text{ см}, \cos B = \frac{1}{3};$

5) $AB = 12 \text{ см}, \cos B = \frac{4}{5};$

6) $AB = 8 \text{ см}, \text{ctg} B = \frac{6}{7}.$

Во всех задачах рассматривается прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$ ($\angle C = 90^\circ$). Катеты — $AC$ и $BC$, гипотенуза — $AB$. Для решения используются определения тригонометрических функций и теорема Пифагора ($AC^2 + BC^2 = AB^2$).

1) Дано: $AC = 3$ см, $\cos A = \frac{1}{4}$.

По определению косинуса острого угла в прямоугольном треугольнике: $\cos A = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{AC}{AB}$.
Выразим гипотенузу $AB$:
$AB = \frac{AC}{\cos A} = \frac{3}{1/4} = 12$ см.
По теореме Пифагора найдем катет $BC$:
$BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{12^2 - 3^2} = \sqrt{144 - 9} = \sqrt{135} = \sqrt{9 \cdot 15} = 3\sqrt{15}$ см.
Ответ: $AB = 12$ см, $BC = 3\sqrt{15}$ см.

2) Дано: $BC = 5$ см, $\sin A = \frac{2}{3}$.

По определению синуса острого угла: $\sin A = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{BC}{AB}$.
Выразим гипотенузу $AB$:
$AB = \frac{BC}{\sin A} = \frac{5}{2/3} = \frac{15}{2} = 7.5$ см.
По теореме Пифагора найдем катет $AC$:
$AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{(7.5)^2 - 5^2} = \sqrt{56.25 - 25} = \sqrt{31.25} = \sqrt{\frac{125}{4}} = \frac{5\sqrt{5}}{2}$ см.
Ответ: $AB = 7.5$ см, $AC = \frac{5\sqrt{5}}{2}$ см.

3) Дано: $AC = 8$ см, $\text{tg } B = 3$.

По определению тангенса острого угла: $\text{tg } B = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{AC}{BC}$.
Выразим катет $BC$:
$BC = \frac{AC}{\text{tg } B} = \frac{8}{3}$ см.
По теореме Пифагора найдем гипотенузу $AB$:
$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{8^2 + (\frac{8}{3})^2} = \sqrt{64 + \frac{64}{9}} = \sqrt{\frac{576+64}{9}} = \sqrt{\frac{640}{9}} = \frac{8\sqrt{10}}{3}$ см.
Ответ: $BC = \frac{8}{3}$ см, $AB = \frac{8\sqrt{10}}{3}$ см.

4) Дано: $AC = 6$ см, $\cos B = \frac{1}{3}$.

Для нахождения гипотенузы $AB$ сначала найдем $\sin B$ из основного тригонометрического тождества $\sin^2 B + \cos^2 B = 1$:
$\sin B = \sqrt{1 - \cos^2 B} = \sqrt{1 - (\frac{1}{3})^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{9}} = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$.
По определению синуса $\sin B = \frac{AC}{AB}$, выразим $AB$:
$AB = \frac{AC}{\sin B} = \frac{6}{2\sqrt{2}/3} = \frac{18}{2\sqrt{2}} = \frac{9}{\sqrt{2}} = \frac{9\sqrt{2}}{2}$ см.
По определению косинуса $\cos B = \frac{BC}{AB}$, выразим $BC$:
$BC = AB \cdot \cos B = \frac{9\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{3\sqrt{2}}{2}$ см.
Ответ: $AB = \frac{9\sqrt{2}}{2}$ см, $BC = \frac{3\sqrt{2}}{2}$ см.

5) Дано: $AB = 12$ см, $\cos B = \frac{4}{5}$.

По определению косинуса $\cos B = \frac{BC}{AB}$, выразим катет $BC$:
$BC = AB \cdot \cos B = 12 \cdot \frac{4}{5} = \frac{48}{5} = 9.6$ см.
Найдем катет $AC$ по теореме Пифагора:
$AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{12^2 - (9.6)^2} = \sqrt{144 - 92.16} = \sqrt{51.84} = 7.2$ см.
Ответ: $BC = 9.6$ см, $AC = 7.2$ см.

6) Дано: $AB = 8$ см, $\text{ctg } B = \frac{6}{7}$.

По определению котангенса $\text{ctg } B = \frac{BC}{AC}$. Отсюда имеем соотношение катетов: $BC = \frac{6}{7} AC$.
Подставим это в теорему Пифагора $AC^2 + BC^2 = AB^2$:
$AC^2 + (\frac{6}{7} AC)^2 = 8^2$
$AC^2 + \frac{36}{49} AC^2 = 64$
$AC^2 (1 + \frac{36}{49}) = 64 \implies AC^2 (\frac{85}{49}) = 64$
$AC^2 = \frac{64 \cdot 49}{85} \implies AC = \sqrt{\frac{64 \cdot 49}{85}} = \frac{8 \cdot 7}{\sqrt{85}} = \frac{56}{\sqrt{85}} = \frac{56\sqrt{85}}{85}$ см.
Теперь найдем $BC$:
$BC = \frac{6}{7} AC = \frac{6}{7} \cdot \frac{56\sqrt{85}}{85} = \frac{6 \cdot 8\sqrt{85}}{85} = \frac{48\sqrt{85}}{85}$ см.
Ответ: $AC = \frac{56\sqrt{85}}{85}$ см, $BC = \frac{48\sqrt{85}}{85}$ см.

201. Решите прямоугольный треугольник $ABC (\angle C = 90^\circ)$ по известным элементам:

1) $AB = 12$ см, $\angle B = 53^\circ$;

2) $AC = 10$ см, $\angle B = 73^\circ$;

3) $AB = 14$ см, $BC = 6$ см;

4) $BC = 9$ см, $AC = 12$ см.

201. Решите прямоугольный треугольник $ABC (\angle C = 90^\circ)$ по известным элементам:

1) $AB = 12$ см, $\angle B = 53^\circ$;

2) $AC = 10$ см, $\angle B = 73^\circ$;

3) $AB = 14$ см, $BC = 6$ см;

4) $BC = 9$ см, $AC = 12$ см.

Решение прямоугольного треугольника $ABC$ ($\angle C=90^\circ$) означает нахождение всех его неизвестных сторон и углов по известным элементам.

1) Дано: гипотенуза $AB = 12$ см, $\angle B = 53^\circ$.

Решение:

1. Найдём угол $A$. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$.
$\angle A = 90^\circ - \angle B = 90^\circ - 53^\circ = 37^\circ$.

2. Найдём катет $AC$. $AC$ является противолежащим катетом для угла $B$.
Из определения синуса: $\sin(\angle B) = \frac{AC}{AB}$.
$AC = AB \cdot \sin(\angle B) = 12 \cdot \sin(53^\circ) \approx 12 \cdot 0.7986 \approx 9.58$ см.

3. Найдём катет $BC$. $BC$ является прилежащим катетом для угла $B$.
Из определения косинуса: $\cos(\angle B) = \frac{BC}{AB}$.
$BC = AB \cdot \cos(\angle B) = 12 \cdot \cos(53^\circ) \approx 12 \cdot 0.6018 \approx 7.22$ см.

Ответ: $\angle A = 37^\circ, AC \approx 9.58$ см, $BC \approx 7.22$ см.

2) Дано: катет $AC = 10$ см, $\angle B = 73^\circ$.

Решение:

1. Найдём угол $A$.
$\angle A = 90^\circ - \angle B = 90^\circ - 73^\circ = 17^\circ$.

2. Найдём гипотенузу $AB$.
Из определения синуса: $\sin(\angle B) = \frac{AC}{AB}$.
$AB = \frac{AC}{\sin(\angle B)} = \frac{10}{\sin(73^\circ)} \approx \frac{10}{0.9563} \approx 10.46$ см.

3. Найдём катет $BC$.
Из определения тангенса: $\tan(\angle A) = \frac{BC}{AC}$.
$BC = AC \cdot \tan(\angle A) = 10 \cdot \tan(17^\circ) \approx 10 \cdot 0.3057 \approx 3.06$ см.

Ответ: $\angle A = 17^\circ, AB \approx 10.46$ см, $BC \approx 3.06$ см.

3) Дано: гипотенуза $AB = 14$ см, катет $BC = 6$ см.

Решение:

1. Найдём катет $AC$ по теореме Пифагора: $AC^2 + BC^2 = AB^2$.
$AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{14^2 - 6^2} = \sqrt{196 - 36} = \sqrt{160} = \sqrt{16 \cdot 10} = 4\sqrt{10}$ см.
Приближённое значение: $AC \approx 12.65$ см.

2. Найдём угол $A$.
Из определения синуса: $\sin(\angle A) = \frac{BC}{AB} = \frac{6}{14} = \frac{3}{7}$.
$\angle A = \arcsin(\frac{3}{7}) \approx 25.4^\circ$.

3. Найдём угол $B$.
$\angle B = 90^\circ - \angle A \approx 90^\circ - 25.4^\circ = 64.6^\circ$.

Ответ: $AC = 4\sqrt{10} \approx 12.65$ см, $\angle A \approx 25.4^\circ, \angle B \approx 64.6^\circ$.

4) Дано: катет $BC = 9$ см, катет $AC = 12$ см.

Решение:

1. Найдём гипотенузу $AB$ по теореме Пифагора: $AB^2 = AC^2 + BC^2$.
$AB = \sqrt{12^2 + 9^2} = \sqrt{144 + 81} = \sqrt{225} = 15$ см.

2. Найдём угол $A$.
Из определения тангенса: $\tan(\angle A) = \frac{BC}{AC} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4} = 0.75$.
$\angle A = \arctan(0.75) \approx 36.9^\circ$.

3. Найдём угол $B$.
$\angle B = 90^\circ - \angle A \approx 90^\circ - 36.9^\circ = 53.1^\circ$.

Ответ: $AB = 15$ см, $\angle A \approx 36.9^\circ, \angle B \approx 53.1^\circ$.

202. В равнобедренном треугольнике $ABC$ ($AB = BC$) известно, что высота $BD$ равна 6 см, $\angle A = 24^\circ$. Найдите боковую сторону и основание треугольника.

202. В равнобедренном треугольнике $ABC$ ($AB = BC$) известно, что высота $BD$ равна 6 см, $\angle A = 24^{\circ}$. Найдите боковую сторону и основание треугольника.

Поскольку треугольник $ABC$ является равнобедренным с основанием $AC$ ($AB=BC$), высота $BD$, проведенная к основанию, является также медианой и биссектрисой. Это означает, что высота $BD$ делит треугольник $ABC$ на два равных прямоугольных треугольника, $ABD$ и $CBD$. Также, точка $D$ является серединой основания $AC$, то есть $AC = 2 \cdot AD$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABD$, в котором:
- $\angle BDA = 90^\circ$
- катет $BD = 6$ см (высота)
- $\angle A = 24^\circ$

Боковая сторона
Боковая сторона $AB$ является гипотенузой в прямоугольном треугольнике $ABD$. Для нахождения гипотенузы, зная противолежащий катет ($BD$) и угол ($\angle A$), воспользуемся определением синуса:
$\sin(\angle A) = \frac{BD}{AB}$
Выразим отсюда $AB$:
$AB = \frac{BD}{\sin(\angle A)} = \frac{6}{\sin(24^\circ)}$ (см)
Ответ: боковая сторона равна $\frac{6}{\sin(24^\circ)}$ см.

Основание
Основание треугольника $AC$ равно удвоенной длине отрезка $AD$ ($AC = 2 \cdot AD$). Отрезок $AD$ является катетом, прилежащим к углу $A$ в прямоугольном треугольнике $ABD$. Для его нахождения, зная противолежащий катет ($BD$) и угол ($\angle A$), воспользуемся определением тангенса:
$\tan(\angle A) = \frac{BD}{AD}$
Выразим отсюда $AD$:
$AD = \frac{BD}{\tan(\angle A)} = \frac{6}{\tan(24^\circ)}$ (см)
Теперь найдем длину основания $AC$:
$AC = 2 \cdot AD = 2 \cdot \frac{6}{\tan(24^\circ)} = \frac{12}{\tan(24^\circ)}$ (см)
Ответ: основание равно $\frac{12}{\tan(24^\circ)}$ см.

203. Из точки, находящейся на расстоянии 8 см от прямой, проведены две наклонные, образующие с этой прямой углы $30^\circ$ и $45^\circ$. Найдите длины наклонных.

203. Из точки, находящейся на расстоянии 8 см от прямой, проведены две наклонные, образующие с этой прямой углы $30^\circ$ и $45^\circ$. Найдите длины наклонных.

Пусть из точки $A$, удаленной от прямой $l$, опущен перпендикуляр $AH$ на эту прямую. Длина этого перпендикуляра и есть расстояние от точки до прямой, то есть $AH = 8$ см. Из точки $A$ проведены две наклонные $AB$ и $AC$ к прямой $l$ (точки $B$ и $C$ лежат на прямой $l$). Углы, которые эти наклонные образуют с прямой, равны $\angle ABH = 30^\circ$ и $\angle ACH = 45^\circ$. Перпендикуляр $AH$ и наклонные $AB$ и $AC$ с их проекциями $HB$ и $HC$ образуют два прямоугольных треугольника: $\triangle AHB$ и $\triangle AHC$.

1. Найдем длину первой наклонной.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle AHB$ ($\angle AHB = 90^\circ$). В нем известен катет $AH = 8$ см, который лежит напротив угла $\angle ABH = 30^\circ$. Длина наклонной $AB$ является гипотенузой в этом треугольнике.
По определению синуса острого угла в прямоугольном треугольнике:
$\sin(\angle ABH) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{AH}{AB}$
Подставим известные значения. Мы знаем, что $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$.
$\frac{1}{2} = \frac{8}{AB}$
Из этого уравнения находим длину $AB$:
$AB = 8 \cdot 2 = 16$ см.

2. Найдем длину второй наклонной.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle AHC$ ($\angle AHC = 90^\circ$). В нем известен катет $AH = 8$ см и острый угол $\angle ACH = 45^\circ$. Длина наклонной $AC$ является гипотенузой.
Аналогично, используем определение синуса:
$\sin(\angle ACH) = \frac{AH}{AC}$
Подставим известные значения. Мы знаем, что $\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
$\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{8}{AC}$
Из этого уравнения находим длину $AC$:
$AC = \frac{8 \cdot 2}{\sqrt{2}} = \frac{16}{\sqrt{2}}$
Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$:
$AC = \frac{16 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{16\sqrt{2}}{2} = 8\sqrt{2}$ см.

Ответ: длины наклонных равны 16 см и $8\sqrt{2}$ см.

204. Из точки, находящейся на расстоянии 10 см от прямой, проведены две наклонные, образующие с прямой углы $30^\circ$ и $60^\circ$. Найдите расстояние между основаниями наклонных. Сколько решений имеет задача?

204. Из точки, находящейся на расстоянии 10 см от прямой, проведены две наклонные, образующие с прямой углы $30^\circ$ и $60^\circ$. Найдите расстояние между основаниями наклонных. Сколько решений имеет задача?

Пусть A — точка, из которой проведены наклонные, а l — прямая. Расстояние от точки A до прямой l — это длина перпендикуляра AH, опущенного из точки A на прямую l. По условию, AH = 10 см.

Пусть AB и AC — две наклонные, проведенные из точки A к прямой l. Точки B и C — основания наклонных. Углы, которые наклонные образуют с прямой, это ∠ABH и ∠ACH. Пусть ∠ABH = 30° и ∠ACH = 60°.

Мы имеем два прямоугольных треугольника: ▵AHB и ▵AHC (с прямым углом при вершине H). Расстояние между основаниями наклонных — это длина отрезка BC. Для его нахождения сначала вычислим длины проекций наклонных на прямую l — катетов BH и CH.

В прямоугольном треугольнике ▵AHB катет BH, прилежащий к углу 30°, можно найти через тангенс:
$\tan(\angle ABH) = \frac{AH}{BH} \implies BH = \frac{AH}{\tan(30^\circ)} = \frac{10}{1/\sqrt{3}} = 10\sqrt{3}$ см.

В прямоугольном треугольнике ▵AHC катет CH, прилежащий к углу 60°, можно найти аналогично:
$\tan(\angle ACH) = \frac{AH}{CH} \implies CH = \frac{AH}{\tan(60^\circ)} = \frac{10}{\sqrt{3}} = \frac{10\sqrt{3}}{3}$ см.

Задача имеет два решения, так как основания наклонных (точки B и C) могут располагаться на прямой l как по разные стороны от основания перпендикуляра H, так и по одну сторону.

В этом случае точка H лежит между точками B и C. Расстояние между основаниями наклонных равно сумме длин их проекций:
$BC = BH + CH = 10\sqrt{3} + \frac{10\sqrt{3}}{3} = \frac{30\sqrt{3} + 10\sqrt{3}}{3} = \frac{40\sqrt{3}}{3}$ см.
Ответ: $\frac{40\sqrt{3}}{3}$ см.

В этом случае расстояние между основаниями наклонных равно модулю разности длин их проекций:
$BC = |BH - CH| = |10\sqrt{3} - \frac{10\sqrt{3}}{3}| = \frac{30\sqrt{3} - 10\sqrt{3}}{3} = \frac{20\sqrt{3}}{3}$ см.
Ответ: $\frac{20\sqrt{3}}{3}$ см.

Поскольку существует два возможных расположения оснований наклонных, которые приводят к двум разным значениям искомого расстояния, задача имеет два решения.
Ответ: 2.

205. Диагональ $BD$ прямоугольника $ABCD$ равна $d$ и образует со стороной $CD$ угол $\beta$. Найдите стороны прямоугольника.

205. Диагональ $BD$ прямоугольника $ABCD$ равна $d$ и образует со стороной $CD$ угол $\beta$. Найдите стороны прямоугольника.

Рассмотрим прямоугольник $ABCD$. Нам даны диагональ $BD = d$ и угол $\beta$, который эта диагональ образует со стороной $CD$, то есть $\angle BDC = \beta$.

Диагональ $BD$ делит прямоугольник на два равных прямоугольных треугольника: $\triangle ABD$ и $\triangle BCD$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle BCD$, в котором:

• $\angle C = 90^{\circ}$ (так как $ABCD$ — прямоугольник);
• $BD$ — гипотенуза, её длина равна $d$;
• $BC$ и $CD$ — катеты, которые являются сторонами прямоугольника.

Для нахождения сторон прямоугольника (катетов $BC$ и $CD$) используем тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике.

1. Найдём сторону $BC$.
Катет $BC$ является противолежащим к углу $\beta$. Отношение противолежащего катета к гипотенузе равно синусу угла.
$\sin(\angle BDC) = \frac{BC}{BD}$
$\sin(\beta) = \frac{BC}{d}$
Отсюда выражаем $BC$:
$BC = d \cdot \sin(\beta)$

2. Найдём сторону $CD$.
Катет $CD$ является прилежащим к углу $\beta$. Отношение прилежащего катета к гипотенузе равно косинусу угла.
$\cos(\angle BDC) = \frac{CD}{BD}$
$\cos(\beta) = \frac{CD}{d}$
Отсюда выражаем $CD$:
$CD = d \cdot \cos(\beta)$

Так как в прямоугольнике противолежащие стороны равны, то $AB = CD = d \cdot \cos(\beta)$ и $AD = BC = d \cdot \sin(\beta)$.

Ответ: стороны прямоугольника равны $d \cdot \sin(\beta)$ и $d \cdot \cos(\beta)$.