Страница 54 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

144. Расстояния между противолежащими сторонами параллелограмма равны 12 см и 18 см, а его меньшая сторона — 24 см. Найдите большую сторону параллелограмма.

144. Расстояния между противолежащими сторонами параллелограмма равны 12 см и 18 см, а его меньшая сторона — 24 см. Найдите большую сторону параллелограмма.

Пусть стороны параллелограмма равны $a$ и $b$, а высоты, проведенные к этим сторонам, равны $h_a$ и $h_b$ соответственно. Расстояния между противолежащими сторонами и есть высоты параллелограмма. По условию, высоты равны 12 см и 18 см.

Площадь параллелограмма ($S$) можно вычислить по формуле: произведение стороны на высоту, проведенную к этой стороне. Таким образом, площадь можно выразить двумя способами:
$S = a \cdot h_a$
$S = b \cdot h_b$

Приравнивая эти два выражения для площади, получаем:
$a \cdot h_a = b \cdot h_b$

Из этого соотношения следует, что большей стороне параллелограмма соответствует меньшая высота, а меньшей стороне — большая высота.

По условию, меньшая сторона равна 24 см. Пусть это будет сторона $a$.
$a = 24$ см.
Так как $a$ — меньшая сторона, ей соответствует большая высота, то есть $h_a = 18$ см.

Мы ищем большую сторону, обозначим ее $b$. Ей соответствует меньшая высота, то есть $h_b = 12$ см.

Подставим известные значения в нашу формулу:
$24 \cdot 18 = b \cdot 12$

Теперь найдем $b$:
$b = \frac{24 \cdot 18}{12}$

Сократим дробь:
$b = 2 \cdot 18$
$b = 36$ см.

Следовательно, большая сторона параллелограмма равна 36 см.

Ответ: 36 см.

145. Периметр параллелограмма равен 64 см, а его высоты — 7 см и 9 см. Найдите стороны параллелограмма.

145. Периметр параллелограмма равен 64 см, а его высоты — 7 см и 9 см. Найдите стороны параллелограмма.

Пусть стороны параллелограмма равны $a$ и $b$, а высоты, проведенные к этим сторонам, — $h_a$ и $h_b$ соответственно.

Периметр параллелограмма вычисляется по формуле $P = 2(a+b)$. По условию, $P = 64$ см, следовательно:

$2(a+b) = 64$

$a+b = 32$

Высоты параллелограмма равны 7 см и 9 см. Важно помнить, что в параллелограмме к большей стороне проведена меньшая высота, а к меньшей стороне — большая высота. Пусть $a$ — большая сторона, а $b$ — меньшая. Тогда высота, опущенная на сторону $a$, будет $h_a = 7$ см, а высота, опущенная на сторону $b$, будет $h_b = 9$ см.

Площадь параллелограмма можно найти двумя способами, используя разные стороны и высоты:

$S = a \cdot h_a$ и $S = b \cdot h_b$.

Поскольку площадь одна и та же, мы можем приравнять эти два выражения:

$a \cdot h_a = b \cdot h_b$

$a \cdot 7 = b \cdot 9$

$7a = 9b$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя переменными:

$\begin{cases} a + b = 32 \\ 7a = 9b \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $a$: $a = 32 - b$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$7(32 - b) = 9b$

$224 - 7b = 9b$

$224 = 9b + 7b$

$224 = 16b$

$b = \frac{224}{16} = 14$ см.

Теперь найдем вторую сторону $a$:

$a = 32 - b = 32 - 14 = 18$ см.

Стороны параллелограмма равны 18 см и 14 см.

Ответ: 18 см и 14 см.

146. Точка пересечения диагоналей трапеции делит одну из диагоналей на отрезки длиной 7 см и 11 см. Найдите основания трапеции, если их разность равна 16 см.

146. Точка пересечения диагоналей трапеции делит одну из диагоналей на отрезки длиной 7 см и 11 см. Найдите основания трапеции, если их разность равна 16 см.

Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $BC$ и $AD$, и пусть $O$ — точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$.

Треугольники $\triangle BOC$ и $\triangle DOA$, образованные основаниями трапеции и отрезками диагоналей, подобны. Это следует из того, что основания трапеции параллельны ($BC \parallel AD$), а углы при этих основаниях являются внутренними накрест лежащими при пересечении параллельных прямых секущими-диагоналями ($\angle BCA = \angle CAD$ и $\angle CBD = \angle BDA$).

Из подобия треугольников следует пропорциональность их соответствующих сторон: $ \frac{BC}{AD} = \frac{OC}{OA} = \frac{OB}{OD} $

По условию, точка пересечения $O$ делит одну из диагоналей (пусть это будет $AC$) на отрезки длиной 7 см и 11 см. Меньший отрезок ($OC$) прилегает к меньшему основанию ($BC$), а больший отрезок ($OA$) — к большему основанию ($AD$). Следовательно, $OC = 7$ см и $OA = 11$ см.

Пусть длина меньшего основания $BC = b$, а большего $AD = a$. Тогда из пропорции имеем: $ \frac{b}{a} = \frac{OC}{OA} = \frac{7}{11} $

Также по условию задачи разность длин оснований равна 16 см, то есть: $ a - b = 16 $

Мы получили систему двух уравнений с двумя неизвестными: $ \begin{cases} \frac{b}{a} = \frac{7}{11} \\ a - b = 16 \end{cases} $

Из второго уравнения выразим $a$: $a = b + 16$. Подставим это выражение в первое уравнение: $ \frac{b}{b + 16} = \frac{7}{11} $

Решим полученное уравнение, используя основное свойство пропорции: $ 11 \cdot b = 7 \cdot (b + 16) $ $ 11b = 7b + 112 $ $ 11b - 7b = 112 $ $ 4b = 112 $ $ b = \frac{112}{4} = 28 $ (см)

Теперь найдем длину большего основания $a$: $ a = b + 16 = 28 + 16 = 44 $ (см)

Таким образом, основания трапеции равны 28 см и 44 см.

Ответ: 28 см и 44 см.

147. В трапеции $ABCD$ ($BC \parallel AD$) $K$ — точка пересечения диагоналей, $AK : KC = 9 : 4$, $KD - BK = 10$ см. Найдите диагональ $BD$ трапеции.

147. В трапеции $ABCD$ ($BC \parallel AD$) $K$ — точка пересечения диагоналей, $AK : KC = 9 : 4$, $KD - BK = 10$ см. Найдите диагональ $BD$ трапеции.

Рассмотрим треугольники $ \triangle AKD $ и $ \triangle CKB $, образованные пересечением диагоналей трапеции.

Поскольку $BC \parallel AD$ (как основания трапеции), то:

• $ \angle KAD = \angle KCB $ как накрест лежащие углы при параллельных прямых $AD$ и $BC$ и секущей $AC$.
• $ \angle KDA = \angle KBC $ как накрест лежащие углы при параллельных прямых $AD$ и $BC$ и секущей $BD$.

Следовательно, треугольники $ \triangle AKD $ и $ \triangle CKB $ подобны по двум углам (первый признак подобия).

Из подобия треугольников следует пропорциональность их соответственных сторон:

$ \frac{AK}{KC} = \frac{KD}{KB} = \frac{AD}{CB} $

По условию задачи дано отношение $ AK : KC = 9 : 4 $, значит $ \frac{AK}{KC} = \frac{9}{4} $.

Тогда и отношение отрезков второй диагонали будет таким же:

$ \frac{KD}{KB} = \frac{9}{4} $

Отсюда можно выразить $KD$ через $KB$:

$ KD = \frac{9}{4} KB $

Также по условию нам известно, что $ KD - BK = 10 $ см. Подставим в это уравнение выражение для $KD$:

$ \frac{9}{4} KB - KB = 10 $

Вынесем $KB$ за скобки:

$ KB \left( \frac{9}{4} - 1 \right) = 10 $

$ KB \left( \frac{9 - 4}{4} \right) = 10 $

$ KB \cdot \frac{5}{4} = 10 $

Теперь найдем длину отрезка $KB$:

$ KB = 10 \cdot \frac{4}{5} = 2 \cdot 4 = 8 $ см.

Зная $KB$, найдем длину отрезка $KD$:

$ KD = KB + 10 = 8 + 10 = 18 $ см.

Диагональ $BD$ состоит из двух отрезков $BK$ и $KD$. Найдем ее длину:

$ BD = BK + KD = 8 + 18 = 26 $ см.

Ответ: 26 см.

148. На стороне $AC$ треугольника $ABC$ отметили точку $D$ так, что $\angle ABD = \angle BCA$. Известно, что $AB = 3$ см, $AC = 6$ см. Найдите отрезок $AD$.

148. На стороне $AC$ треугольника $ABC$ отметили точку $D$ так, что $\angle ABD = \angle BCA$. Известно, что $AB = 3$ см, $AC = 6$ см. Найдите отрезок $AD$.

Рассмотрим треугольники $ABD$ и $ABC$.
1. Угол $A$ ($\angle BAC$) является общим для обоих треугольников.
2. По условию задачи, $\angle ABD = \angle BCA$.
Так как два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны. Следовательно, треугольник $ABD$ подобен треугольнику $ACB$ ($\triangle ABD \sim \triangle ACB$) по первому признаку подобия (по двум углам).

Из подобия треугольников следует пропорциональность их соответствующих сторон:
$\frac{AD}{AB} = \frac{AB}{AC} = \frac{BD}{CB}$

Для нахождения $AD$ воспользуемся первой частью пропорции:
$\frac{AD}{AB} = \frac{AB}{AC}$

Подставим известные из условия значения: $AB = 3$ см и $AC = 6$ см.
$\frac{AD}{3} = \frac{3}{6}$
Упростим правую часть уравнения:
$\frac{AD}{3} = \frac{1}{2}$
Выразим $AD$:
$AD = \frac{3 \cdot 1}{2} = 1.5$ см.

Ответ: 1.5 см.

149. Хорды $AB$ и $CD$ окружности пересекаются в точке $K$. Найдите отрезок $AK$, если $KB = 8$ см, $CK = 6$ см, $KD = 4$ см.

149. Хорды $AB$ и $CD$ окружности пересекаются в точке $K$. Найдите отрезок $AK$, если $KB = 8 \text{ см}$, $CK = 6 \text{ см}$, $KD = 4 \text{ см}$.

Для решения данной задачи используется свойство пересекающихся хорд в окружности. Согласно теореме о пересекающихся хордах, произведение длин отрезков, на которые точка пересечения делит одну хорду, равно произведению длин отрезков, на которые та же точка делит другую хорду.

Для хорд $AB$ и $CD$, пересекающихся в точке $K$, это свойство можно записать в виде формулы:

$AK \cdot KB = CK \cdot KD$

В условии задачи даны следующие значения:

$KB = 8$ см

$CK = 6$ см

$KD = 4$ см

Подставим эти значения в формулу, чтобы найти длину отрезка $AK$:

$AK \cdot 8 = 6 \cdot 4$

Сначала вычислим произведение в правой части уравнения:

$AK \cdot 8 = 24$

Теперь, чтобы найти $AK$, разделим обе части уравнения на 8:

$AK = \frac{24}{8}$

$AK = 3$ см

Ответ: 3 см

150. Хорды $AB$ и $CD$ окружности пересекаются в точке $K$, $CK = 6$ см, $DK = 8$ см, а отрезок $AK$ в 3 раза больше отрезка $BK$. Найдите отрезки $AK$ и $BK$.

150. Хорды $AB$ и $CD$ окружности пересекаются в точке $K$, $CK = 6$ см, $DK = 8$ см, а отрезок $AK$ в 3 раза больше отрезка $BK$. Найдите отрезки $AK$ и $BK$.

Для решения этой задачи воспользуемся свойством пересекающихся хорд в окружности. Теорема о пересекающихся хордах гласит, что произведения отрезков, на которые точка пересечения делит хорды, равны между собой.

Для хорд $AB$ и $CD$, пересекающихся в точке $K$, это свойство записывается в виде формулы: $AK \cdot BK = CK \cdot DK$

Согласно условию задачи, мы имеем следующие данные:

• $CK = 6$ см
• $DK = 8$ см
• Отрезок $AK$ в 3 раза больше отрезка $BK$, то есть $AK = 3 \cdot BK$

Сначала вычислим произведение отрезков хорды $CD$: $CK \cdot DK = 6 \cdot 8 = 48$ см².

Теперь, используя теорему, мы можем записать: $AK \cdot BK = 48$

Пусть длина отрезка $BK$ равна $x$ см. Тогда, согласно условию, длина отрезка $AK$ будет $3x$ см.

Подставим эти выражения в наше уравнение: $(3x) \cdot x = 48$

Решим полученное уравнение: $3x^2 = 48$ $x^2 = \frac{48}{3}$ $x^2 = 16$

Так как длина отрезка может быть только положительным числом, находим значение $x$: $x = \sqrt{16} = 4$

Таким образом, длина отрезка $BK$ составляет 4 см. $BK = 4$ см.

Теперь найдем длину отрезка $AK$: $AK = 3 \cdot BK = 3 \cdot 4 = 12$ см.

Проверим наше решение: $AK \cdot BK = 12 \cdot 4 = 48$ см², что совпадает с $CK \cdot DK = 6 \cdot 8 = 48$ см².

Ответ: $AK = 12$ см, $BK = 4$ см.

151. Точка E удалена на 6 см от центра окружности радиуса 10 см. Через точку E проведена хорда длиной 16 см. Найдите отрезки, на которые точка E делит эту хорду.

151. Точка $E$ удалена на 6 см от центра окружности радиуса 10 см. Через точку $E$ проведена хорда длиной 16 см. Найдите отрезки, на которые точка $E$ делит эту хорду.

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой о произведении отрезков пересекающихся хорд.

Пусть $O$ — центр окружности, а $R$ — ее радиус. По условию, радиус $R = 10$ см. Точка $E$ находится на расстоянии $OE = 6$ см от центра. Через точку $E$ проведена хорда $AB$ длиной $16$ см. Необходимо найти длины отрезков $AE$ и $EB$, на которые точка $E$ делит эту хорду.

Проведем через точку $E$ и центр окружности $O$ диаметр $CD$. Этот диаметр также является хордой. Точка $E$ делит диаметр на два отрезка: $CE$ и $ED$. Их длины можно вычислить, зная радиус $R$ и расстояние $OE$ от центра до точки $E$:
Длина отрезка $CE = R - OE = 10 - 6 = 4$ см.
Длина отрезка $ED = R + OE = 10 + 6 = 16$ см.

Согласно теореме о пересекающихся хордах, произведение длин отрезков одной хорды равно произведению длин отрезков другой хорды. Для хорд $AB$ и $CD$, которые пересекаются в точке $E$, справедливо равенство:
$AE \cdot EB = CE \cdot ED$

Подставим в это равенство найденные длины отрезков $CE$ и $ED$:$
$AE \cdot EB = 4 \cdot 16 = 64$

Также мы знаем, что сумма длин отрезков $AE$ и $EB$ равна общей длине хорды $AB$:$
$AE + EB = 16$

Теперь у нас есть система двух уравнений. Пусть длина отрезка $AE$ равна $x$. Тогда из второго уравнения длина отрезка $EB$ будет равна $16 - x$. Подставим эти выражения в первое уравнение:
$x(16 - x) = 64$
Раскроем скобки и решим полученное квадратное уравнение:
$16x - x^2 = 64$
$x^2 - 16x + 64 = 0$

Левая часть этого уравнения представляет собой полный квадрат разности:
$(x - 8)^2 = 0$
Отсюда следует, что $x - 8 = 0$, а значит $x = 8$.

Таким образом, длина одного отрезка $AE = 8$ см. Тогда длина второго отрезка $EB = 16 - x = 16 - 8 = 8$ см.

Ответ: 8 см и 8 см.

152. Через точку $M$ проведены к окружности касательная $ME$ ($E$ — точка касания) и секущая $MK$, пересекающая окружность в точках $K$ и $D$ (рис. 68). Найдите отрезок $MK$, если $ME = 6$ см, $MD = 4$ см.

Рис. 68

152. Через точку $M$ проведены

к окружности касательная

$ME$ ($E$ — точка касания) и секущая $MK$, пересекающая окружность в точках $K$ и $D$

(рис. 68). Найдите отрезок

$MK$, если $ME = 6$ см, $MD = $

$= 4$ см.

Рис. 68

Для решения данной задачи воспользуемся теоремой о касательной и секущей, проведенных из одной точки к окружности. Эта теорема гласит, что квадрат длины отрезка касательной от точки вне окружности до точки касания равен произведению длины всего отрезка секущей на его внешнюю часть.

Запишем эту теорему в виде формулы для данных из условия:
$ME^2 = MK \cdot MD$

Нам известны следующие значения:
Длина касательной $ME = 6$ см.
Длина внешней части секущей $MD = 4$ см.

Подставим известные данные в формулу и решим уравнение относительно MK:
$6^2 = MK \cdot 4$
$36 = 4 \cdot MK$

Выразим MK:
$MK = \frac{36}{4}$
$MK = 9$ см.

Ответ: 9 см.

153. Через точку $M$ проведены к окружности касательная $MA$ ($A$ — точка касания) и секущая, пересекающая окружность в точках $B$ и $C$ (точка $B$ лежит между точками $M$ и $C$). Найдите отрезок $MB$, если $AM = 18$ см и $MB : BC = 4 : 5$.

153. Через точку $M$ проведены
к окружности касательная
$MA$ ($A$ — точка касания) и секущая, пересекающая окружность в точках $B$ и $C$ (точка $B$ лежит между точками $M$ и $C$). Найдите отрезок $MB$, если $AM = 18$ см
и $MB : BC = 4 : 5$.

Для решения данной задачи используется теорема о касательной и секущей, проведенных к окружности из одной точки. Теорема гласит, что квадрат длины отрезка касательной от точки до точки касания равен произведению длин отрезков секущей от этой же точки до ее точек пересечения с окружностью. Это можно записать в виде формулы: $AM^2 = MB \cdot MC$.

По условию задачи дано: $AM = 18$ см и $MB : BC = 4 : 5$.

Введем коэффициент пропорциональности $x$. Тогда длины отрезков можно выразить как $MB = 4x$ и $BC = 5x$.

Так как точка $B$ находится между точками $M$ и $C$, длина всего отрезка секущей $MC$ равна сумме длин ее частей: $MC = MB + BC = 4x + 5x = 9x$.

Теперь подставим известные значения и выражения в формулу теоремы:
$AM^2 = MB \cdot MC$
$18^2 = (4x) \cdot (9x)$
$324 = 36x^2$

Решим полученное уравнение для нахождения $x$:
$x^2 = \frac{324}{36}$
$x^2 = 9$
Поскольку длина отрезка является положительной величиной, $x$ также должен быть положительным: $x = \sqrt{9} = 3$.

Наконец, найдем длину искомого отрезка $MB$, подставив найденное значение $x$:
$MB = 4x = 4 \cdot 3 = 12$ см.

Ответ: 12 см.