Страница 47 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

94. В окружности с центром O проведён диаметр AD (рис. 53). Найдите угол BAD, если $\angle CDA = 56^{\circ}$, $\angle BKC = 24^{\circ}$.

Рис. 53

94. В окружности с центром $O$проведён диаметр $AD$ (рис. 53).Найдите угол $BAD$, если$\angle CDA = 56^\circ$, $\angle BKC = 24^\circ$.

Рис. 53

Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается. Угол $∠CDA$ является вписанным и опирается на дугу $AC$. Найдем градусную меру дуги $AC$:
$\text{Дуга } AC = 2 \cdot ∠CDA = 2 \cdot 56° = 112°$.

Аналогично, вписанный угол $∠BKC$ опирается на дугу $BC$. Найдем градусную меру дуги $BC$:
$\text{Дуга } BC = 2 \cdot ∠BKC = 2 \cdot 24° = 48°$.

Поскольку $AD$ является диаметром, дуга $ACD$ является полуокружностью, и её градусная мера равна $180°$. Мы можем найти градусную меру дуги $CD$, вычитая из дуги $ACD$ дугу $AC$:
$\text{Дуга } CD = \text{Дуга } ACD - \text{Дуга } AC = 180° - 112° = 68°$.

Искомый угол $∠BAD$ — вписанный и опирается на дугу $BD$. Градусная мера дуги $BD$ равна сумме градусных мер дуг $BC$ и $CD$:
$\text{Дуга } BD = \text{Дуга } BC + \text{Дуга } CD = 48° + 68° = 116°$.

Теперь найдем величину угла $∠BAD$, которая равна половине градусной меры дуги $BD$:
$∠BAD = \frac{1}{2} \cdot \text{Дуга } BD = \frac{116°}{2} = 58°$.

Ответ: 58°.

95. Хорды $AB$ и $CD$ окружности пересекаются в точке $F$ (рис. 54). Найдите угол $AFD$, если $\stackrel{\frown}{AD} = 142^\circ$, $\stackrel{\frown}{BC} = 116^\circ$.

95. Хорды $AB$ и $CD$ окружности пересекаются в точке $F$ (рис. 54). Найдите угол $\angle AFD$, если $\cup AD = 142^\circ$, $\cup BC = 116^\circ$.

Рис. 54

Согласно теореме об угле между пересекающимися хордами, величина угла, образованного двумя пересекающимися хордами, равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами и сторонами вертикального ему угла.

В данной задаче хорды $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $F$. Угол, который необходимо найти, — это $\angle AFD$. Дуга, заключённая между сторонами угла $\angle AFD$, — это дуга $\cup AD$. Вертикальный к нему угол — $\angle CFB$, а дуга, заключённая между его сторонами, — это дуга $\cup BC$.

Формула для расчёта угла $\angle AFD$ выглядит следующим образом:

$\angle AFD = \frac{1}{2} (\cup AD + \cup BC)$

По условию задачи даны градусные меры дуг:

$\cup AD = 142^\circ$

$\cup BC = 116^\circ$

Подставим известные значения в формулу:

$\angle AFD = \frac{1}{2} (142^\circ + 116^\circ)$

Выполним вычисления:

$\angle AFD = \frac{1}{2} (258^\circ)$

$\angle AFD = 129^\circ$

Ответ: $129^\circ$.

96. Хорды AB и CD окружности не пересекаются, а прямые AB и CD пересекаются в точке N (рис. 55). Найдите угол BND, если $\cup AC = 24^\circ$, $\angle BD = 72^\circ$.

Рис. 55

96. Хорды AB и CD окружности не пересекаются, а прямые AB и CD пересекаются в точке N (рис. 55). Найдите угол BND, если $ \cup AC = 24^{\circ} $, $ \angle BD = 72^{\circ} $.

Рис. 55

Для решения данной задачи воспользуемся теоремой об угле, образованном двумя секущими, которые пересекаются в точке вне окружности. Эта теорема гласит, что величина угла между двумя секущими, проведенными из одной точки, равна полуразности величин дуг, заключенных между его сторонами.

В нашем случае, угол $\angle BND$ образован секущими $NB$ и $ND$. Эти секущие высекают на окружности две дуги: дальнюю дугу $BD$ (большую) и ближнюю дугу $AC$ (меньшую).

Формула для вычисления угла $\angle BND$ выглядит следующим образом:

$\angle BND = \frac{1}{2} \cdot (\cup BD - \cup AC)$

Из условия задачи нам известны градусные меры этих дуг:

$\cup AC = 24^\circ$

$\cup BD = 72^\circ$

Теперь подставим данные значения в формулу и выполним расчет:

$\angle BND = \frac{1}{2} \cdot (72^\circ - 24^\circ)$

$\angle BND = \frac{1}{2} \cdot (48^\circ)$

$\angle BND = 24^\circ$

Ответ: $24^\circ$

97. Прямые $BF$ и $CM$ касаются окружности, описанной около треугольника $ABC$, в точках $B$ и $C$ соответственно (рис. 56). Найдите углы треугольника $ABC$, если $\angle ABF = 74^\circ$, $\angle ACM = 41^\circ$.

Рис. 56

97. Прямые $BF$ и $CM$ касаются окружности, описанной около треугольника $ABC$, в точках $B$ и $C$ соответственно (рис. 56). Найдите углы треугольника $ABC$, если $\angle ABF = 74^\circ$, $\angle ACM = 41^\circ$.

Рис. 56

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой об угле между касательной и хордой. Эта теорема гласит, что угол между касательной к окружности и хордой, проведенной через точку касания, равен вписанному углу, который опирается на дугу, заключенную между касательной и хордой.

Нахождение угла BCA

Рассмотрим касательную $BF$ и хорду $AB$. Угол между ними, $\angle ABF$, равен вписанному углу, который опирается на дугу $AB$, то есть углу $\angle BCA$.
По условию $\angle ABF = 74^{\circ}$.
Следовательно, $\angle BCA = \angle ABF = 74^{\circ}$.

Нахождение угла ABC

Теперь рассмотрим касательную $CM$ и хорду $AC$. Угол между ними, $\angle ACM$, равен вписанному углу, который опирается на дугу $AC$, то есть углу $\angle ABC$.
По условию $\angle ACM = 41^{\circ}$.
Следовательно, $\angle ABC = \angle ACM = 41^{\circ}$.

Нахождение угла BAC

Сумма углов в любом треугольнике равна $180^{\circ}$. Для треугольника $ABC$ мы знаем два угла, поэтому можем найти третий:
$\angle BAC + \angle ABC + \angle BCA = 180^{\circ}$
Подставим найденные значения:
$\angle BAC + 41^{\circ} + 74^{\circ} = 180^{\circ}$
$\angle BAC + 115^{\circ} = 180^{\circ}$
$\angle BAC = 180^{\circ} - 115^{\circ}$
$\angle BAC = 65^{\circ}$

Ответ: Углы треугольника $ABC$ равны: $\angle A = 65^{\circ}$, $\angle B = 41^{\circ}$, $\angle C = 74^{\circ}$.

98. Через точку D окружности проведена касательная DM, не параллельная диаметру EF (рис. 57). Найдите углы треугольника DEF, если $ \angle MDF = 140^\circ $.

Рис. 57

98. Через точку $D$ окружности проведена касательная $DM$, не параллельная диаметру $EF$ (рис. 57). Найдите углы треугольника $DEF$, если $\angle MDF = 140^\circ$.

Рис. 57

Нахождение угла $ \angle DEF $
Угол между касательной и хордой, проведенной через точку касания, равен половине градусной меры дуги, заключенной между ними. Поскольку угол $ \angle MDF = 140° $ является тупым, он измеряется половиной большей дуги $DF$.
Градусная мера большей дуги $DF$ равна $ 2 \cdot 140° = 280° $.
Вся окружность составляет $360°$, значит, градусная мера меньшей дуги $DF$ равна $ 360° - 280° = 80° $.
Вписанный угол $ \angle DEF $ опирается на меньшую дугу $DF$ и равен ее половине.
$ \angle DEF = \frac{1}{2} \cdot 80° = 40° $.
Ответ: $ \angle DEF = 40° $.

Нахождение угла $ \angle EDF $
По условию задачи, отрезок $EF$ является диаметром окружности. Вписанный угол, который опирается на диаметр, является прямым.
Угол $ \angle EDF $ в треугольнике $DEF$ опирается на диаметр $EF$.
Следовательно, $ \angle EDF = 90° $.
Ответ: $ \angle EDF = 90° $.

Нахождение угла $ \angle DFE $
Сумма углов в любом треугольнике равна $180°$. Для треугольника $DEF$ мы уже нашли два угла: $ \angle DEF = 40° $ и $ \angle EDF = 90° $.
Третий угол $ \angle DFE $ находим из соотношения:
$ \angle DFE = 180° - (\angle DEF + \angle EDF) $
$ \angle DFE = 180° - (40° + 90°) = 180° - 130° = 50° $.
Ответ: $ \angle DFE = 50° $.