Страница 50 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

116. Параллельные прямые $c$ и $d$ пересекают стороны угла $ABC$ (рис. 61). Найдите отрезок $EF$, если $BE = 4$ см, $MN = 9$ см, $BN = EF$.

Рис. 61

116. Параллельные прямые c и d пересекают стороны угла ABC (рис. 61). Найдите отрезок EF, если $BE = 4$ см, $MN = 9$ см, $BN = EF$.

Рис. 61

Согласно теореме о пропорциональных отрезках (обобщённая теорема Фалеса), если параллельные прямые пересекают стороны угла, то они отсекают на сторонах угла пропорциональные отрезки.

В нашем случае параллельные прямые c и d пересекают стороны угла ABC. Согласно следствию из теоремы, отношение отрезков, отсекаемых параллельными прямыми на одной стороне угла, равно отношению соответствующих отрезков на другой стороне. Для данной задачи справедливо соотношение: $$ \frac{BN}{MN} = \frac{BE}{EF} $$

По условию задачи нам дано, что $BE = 4$ см, $MN = 9$ см и $BN = EF$.

Обозначим длину искомого отрезка $EF$ через $x$ см. Тогда, из условия $BN = EF$, следует, что длина отрезка $BN$ также равна $x$ см.

Подставим известные значения в записанную выше пропорцию: $$ \frac{x}{9} = \frac{4}{x} $$

Для решения полученного уравнения воспользуемся основным свойством пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних): $$ x \cdot x = 9 \cdot 4 $$ $$ x^2 = 36 $$

Так как длина отрезка может быть только положительным числом, находим значение $x$: $$ x = \sqrt{36} = 6 $$

Следовательно, длина отрезка $EF$ составляет 6 см.

Ответ: 6 см.

117. В прямоугольном треугольнике $ABC$ известно, что $\angle C = 90^{\circ}$, $\angle B = 60^{\circ}$, $AC = 24$ см. Точка $K$ — середина катета $AC$. Найдите расстояние от точки $K$ до гипотенузы $AB$.

117. В прямоугольном треугольнике $ABC$ известно, что $\angle C = 90^\circ$, $\angle B = 60^\circ$, $AC = 24$ см. Точка $K$ — середина на катета $AC$. Найдите расстояние от точки $K$ до гипотенузы $AB$.

В прямоугольном треугольнике $ABC$ сумма острых углов равна $90^\circ$. Так как по условию $\angle C = 90^\circ$ и $\angle B = 60^\circ$, мы можем найти угол $A$:
$\angle A = 90^\circ - \angle B = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$.

Точка $K$ — середина катета $AC$. По условию, $AC = 24$ см. Следовательно, длина отрезка $AK$ составляет половину длины $AC$:
$AK = \frac{AC}{2} = \frac{24}{2} = 12$ см.

Расстояние от точки $K$ до гипотенузы $AB$ — это длина перпендикуляра, опущенного из точки $K$ на гипотенузу $AB$. Обозначим этот перпендикуляр $KH$, где точка $H$ лежит на $AB$. Таким образом, $KH \perp AB$.

Рассмотрим треугольник $AKH$. Он является прямоугольным, так как $\angle KHA = 90^\circ$ по построению. В этом треугольнике нам известны:

• гипотенуза $AK = 12$ см;
• острый угол $\angle KAH$, который совпадает с углом $\angle A$ треугольника $ABC$, то есть $\angle KAH = 30^\circ$.

Катет $KH$ лежит напротив угла $\angle KAH = 30^\circ$. В прямоугольном треугольнике катет, лежащий напротив угла в $30^\circ$, равен половине гипотенузы. Поэтому:
$KH = \frac{1}{2} AK = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6$ см.

Ответ: 6 см.

118. В треугольнике $ABC$ известно, что $AC = 10$ см, $BC = 4$ см. Через середину стороны $AB$ проведены прямые, параллельные сторонам $AC$ и $BC$. Найдите периметр образовавшегося четырёхугольника.

118. В треугольнике ABC известно, что $AC = 10$ см, $BC = 4$ см. Через середину стороны $AB$ проведены прямые, параллельные сторонам $AC$ и $BC$. Найдите периметр образовавшегося четырёхугольника.

Пусть в треугольнике $ABC$ точка $M$ является серединой стороны $AB$. Через точку $M$ проведем прямую, параллельную стороне $AC$, которая пересечет сторону $BC$ в точке $N$. Также через точку $M$ проведем прямую, параллельную стороне $BC$, которая пересечет сторону $AC$ в точке $K$. В результате образуется четырехугольник $CNMK$.

Рассмотрим полученный четырехугольник $CNMK$. По построению, его стороны попарно параллельны: $MK \parallel BC$ (и, следовательно, $MK \parallel NC$) и $MN \parallel AC$ (и, следовательно, $MN \parallel KC$). Четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны, является параллелограммом. Значит, $CNMK$ — параллелограмм.

Теперь найдем длины его сторон. Рассмотрим $\triangle ABC$. Так как прямая $MK$ проходит через середину стороны $AB$ (точку $M$) и параллельна стороне $BC$, то по свойству средней линии треугольника, точка $K$ является серединой стороны $AC$. Таким образом, длина стороны $CK$ образовавшегося четырехугольника равна половине длины стороны $AC$ треугольника:

$CK = \frac{1}{2} AC = \frac{10 \text{ см}}{2} = 5 \text{ см}$

Аналогично, так как прямая $MN$ проходит через середину стороны $AB$ (точку $M$) и параллельна стороне $AC$, то точка $N$ является серединой стороны $BC$. Таким образом, длина стороны $CN$ равна половине длины стороны $BC$:

$CN = \frac{1}{2} BC = \frac{4 \text{ см}}{2} = 2 \text{ см}$

Периметр параллелограмма $CNMK$ равен удвоенной сумме длин двух его смежных сторон:

$P_{CNMK} = 2 \times (CK + CN)$

Подставим найденные значения:

$P_{CNMK} = 2 \times (5 \text{ см} + 2 \text{ см}) = 2 \times 7 \text{ см} = 14 \text{ см}$

Альтернативно, можно заметить, что $MK$ и $MN$ являются средними линиями треугольника $ABC$. Тогда $MK = \frac{1}{2} BC = 2$ см, а $MN = \frac{1}{2} AC = 5$ см. Периметр будет равен $CK + KN + NM + MC = 5 + 2 + 5 + 2 = 14$ см.

Ответ: 14 см.

119. Через точку $K$ — середину боковой стороны $CD$ трапеции $ABCD$ — проведена прямая, параллельная стороне $AB$ и пересекающая основание $AD$ в точке $P$. Найдите отрезок $KP$, если $AB = 14$ см.

119. Через точку $K$ — середину боковой стороны $CD$ трапеции $ABCD$ — проведена прямая, параллельная стороне $AB$ и пересекающая основание $AD$ в точке $P$. Найдите отрезок $KP$, если $AB = 14$ см.

Пусть дана трапеция $ABCD$, где $AD$ и $BC$ — основания. По условию, точка $K$ является серединой боковой стороны $CD$, что означает $CK = KD$. Через точку $K$ проведена прямая, параллельная другой боковой стороне $AB$. Эта прямая пересекает основание $AD$ в точке $P$. Из условия следует, что $KP \parallel AB$. Известно, что $AB = 14$ см. Требуется найти длину отрезка $KP$.

Выполним дополнительное построение для решения задачи. Проведём через вершину $C$ прямую, параллельную стороне $AB$. Пусть эта прямая пересекает большее основание $AD$ в точке $E$.

Рассмотрим четырёхугольник $ABCE$. По построению имеем $CE \parallel AB$. Так как $AD \parallel BC$ по определению трапеции, то и $AE \parallel BC$ (поскольку точка $E$ лежит на прямой $AD$). Таким образом, четырёхугольник $ABCE$ является параллелограммом, так как его противоположные стороны попарно параллельны.

Из свойства параллелограмма следует, что длины его противоположных сторон равны. Следовательно, $CE = AB$. Поскольку $AB = 14$ см, то $CE = 14$ см.

Теперь рассмотрим треугольник $CDE$. В этом треугольнике точка $K$ является серединой стороны $CD$ по условию задачи. Прямая $KP$ параллельна стороне $CE$ треугольника, так как по условию $KP \parallel AB$, а по нашему построению $CE \parallel AB$, следовательно, $KP \parallel CE$.

Отрезок $KP$ начинается в точке $K$ — середине стороны $CD$ — и параллелен стороне $CE$. По теореме о средней линии треугольника (а именно, по следствию из теоремы Фалеса), если прямая проходит через середину одной стороны треугольника и параллельна другой стороне, то она является средней линией этого треугольника.

Значит, $KP$ — средняя линия треугольника $CDE$. Длина средней линии треугольника равна половине длины основания, которому она параллельна.

$KP = \frac{1}{2} \cdot CE$

Подставим найденное значение $CE = 14$ см в формулу:
$KP = \frac{1}{2} \cdot 14 = 7$ см.

Ответ: 7 см.

120. В окружности проведены хорды $BA$ и $BC$. Расстояние от середины хорды $BC$ до хорды $BA$ равно 5 см. Найдите угол $CAB$, если $AC = 20$ см.

120. В окружности проведены хорды $BA$ и $BC$. Расстояние от середины хорды $BC$ до хорды $BA$ равно 5 см. Найдите угол $CAB$, если $AC = 20$ см.

Рассмотрим треугольник $ABC$, образованный хордами. Пусть $M$ — середина хорды $BC$. По условию, расстояние от точки $M$ до хорды $BA$ равно 5 см. Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Опустим перпендикуляр $MH$ из точки $M$ на прямую, содержащую хорду $BA$. Тогда $MH = 5$ см и $MH \perp BA$.

Проведем высоту $CP$ треугольника $ABC$ из вершины $C$ на сторону $BA$ (или ее продолжение). По определению высоты, $CP \perp BA$.

Поскольку $MH \perp BA$ и $CP \perp BA$, то прямые $MH$ и $CP$ параллельны ($MH \parallel CP$).

Рассмотрим треугольники $\triangle BMH$ и $\triangle BCP$. У них есть общий угол $\angle B$. Углы $\angle BHM$ и $\angle BPC$ прямые, так как $MH$ и $CP$ — перпендикуляры к прямой $BA$. Следовательно, $\triangle BMH$ подобен $\triangle BCP$ по двум углам.

Из подобия треугольников следует, что отношение их соответственных сторон равно. Так как $M$ — середина $BC$, то $BM = \frac{1}{2} BC$. Поэтому коэффициент подобия равен:

$\frac{BM}{BC} = \frac{1}{2}$

Следовательно, отношение высот этих треугольников также равно $\frac{1}{2}$:

$\frac{MH}{CP} = \frac{BM}{BC} = \frac{1}{2}$

Отсюда мы можем выразить длину высоты $CP$:

$CP = 2 \cdot MH$

Подставим известное значение $MH = 5$ см:

$CP = 2 \cdot 5 = 10$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $ACP$ (угол $\angle APC = 90^\circ$). В этом треугольнике нам известны длина гипотенузы $AC = 20$ см (по условию) и длина катета $CP = 10$ см, который является противолежащим для искомого угла $\angle CAB$.

Синус угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к гипотенузе. Для угла $\angle CAB$ (который совпадает с $\angle CAP$) имеем:

$\sin(\angle CAB) = \frac{CP}{AC}$

Подставляем известные значения:

$\sin(\angle CAB) = \frac{10}{20} = \frac{1}{2}$

Угол в треугольнике, синус которого равен $\frac{1}{2}$, — это $30^\circ$. Следовательно, искомый угол $\angle CAB$ равен $30^\circ$.

Ответ: $30^\circ$.

121. Диагональ трапеции делит её среднюю линию на отрезки, один из которых на 3 см меньше другого. Найдите меньшее основание трапеции, если её большее основание равно 14 см.

121. Диагональ трапеции делит её среднюю линию на отрезки, один из которых на 3 см меньше другого. Найдите меньшее основание трапеции, если её большее основание равно 14 см.

Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. Пусть $AD$ — большее основание, а $BC$ — меньшее. По условию, $AD = 14$ см.

Проведём среднюю линию $MN$, где $M$ — середина боковой стороны $AB$, а $N$ — середина боковой стороны $CD$. Диагональ $AC$ пересекает среднюю линию $MN$ в точке $K$. Таким образом, средняя линия делится на два отрезка: $MK$ и $KN$.

Рассмотрим треугольник $ABC$. Отрезок $MK$ является его средней линией, так как точка $M$ — середина стороны $AB$, а отрезок $MK$ лежит на средней линии трапеции $MN$, которая параллельна основанию $BC$. По свойству средней линии треугольника, её длина равна половине длины параллельной ей стороны:

$MK = \frac{1}{2}BC$

Теперь рассмотрим треугольник $ADC$. Аналогично, отрезок $KN$ является его средней линией, так как точка $N$ — середина стороны $CD$, а отрезок $KN$ параллелен основанию $AD$. По свойству средней линии треугольника:

$KN = \frac{1}{2}AD$

Нам известно, что большее основание $AD = 14$ см. Найдем длину отрезка $KN$:

$KN = \frac{1}{2} \times 14 = 7$ см.

По условию, один из отрезков средней линии на 3 см меньше другого. Так как $AD > BC$, то и $KN > MK$. Следовательно, отрезок $MK$ на 3 см меньше отрезка $KN$.

$MK = KN - 3$

Подставим известное значение $KN$:

$MK = 7 - 3 = 4$ см.

Теперь, зная длину отрезка $MK$, мы можем найти длину меньшего основания $BC$ из формулы $MK = \frac{1}{2}BC$:

$4 = \frac{1}{2}BC$

$BC = 4 \times 2 = 8$ см.

Ответ: 8 см.

122. Меньшее основание трапеции равно 6 см. Диагонали трапеции пересекают её среднюю линию в точках $M$ и $N$. Найдите большее основание трапеции, если $MN = 4$ см.

122. Меньшее основание трапеции равно 6 см. Диагонали трапеции пересекают её среднюю линию в точках $M$ и $N$. Найдите большее основание трапеции, если $MN = 4$ см.

Пусть дана трапеция ABCD, где BC – меньшее основание, а AD – большее. По условию задачи $BC = 6$ см. Пусть KL – средняя линия трапеции, где точка K – середина боковой стороны AB, а точка L – середина боковой стороны CD. Диагональ AC пересекает среднюю линию KL в точке M, а диагональ BD пересекает ее в точке N. По условию, длина отрезка $MN = 4$ см.

Рассмотрим треугольник ABC. Отрезок KM является его средней линией, так как точка K – середина стороны AB, а отрезок KM параллелен основанию BC (поскольку вся средняя линия KL параллельна основаниям трапеции). Длина средней линии треугольника равна половине длины основания, которому она параллельна. Следовательно: $KM = \frac{1}{2} BC$ Подставив известное значение $BC = 6$ см, получим: $KM = \frac{1}{2} \cdot 6 = 3$ см.

Теперь рассмотрим треугольник ABD. Аналогично, отрезок KN является его средней линией, так как K – середина AB и KN параллельно AD. Следовательно: $KN = \frac{1}{2} AD$

Точки K, M, N лежат на одной прямой – средней линии трапеции. Так как AD является большим основанием, то $AD > BC$, а значит и $\frac{1}{2}AD > \frac{1}{2}BC$, то есть $KN > KM$. Это означает, что точка M лежит между точками K и N. Длину отрезка MN можно выразить как разность длин отрезков KN и KM: $MN = KN - KM$

Подставим в это равенство известные нам значения и выражения: $4 = \frac{1}{2} AD - 3$

Решим полученное уравнение относительно AD, чтобы найти длину большего основания: $\frac{1}{2} AD = 4 + 3$ $\frac{1}{2} AD = 7$ $AD = 7 \cdot 2$ $AD = 14$ см.

Ответ: 14 см.

123. Боковую сторону трапеции разделили на 4 равных отрезка и через точки деления провели прямые, параллельные основаниям. Два меньших отрезка этих прямых, принадлежащие трапеции, равны 4 см и 7 см. Найдите основания трапеции.

123. Боковую сторону трапеции разделили на 4 равных отрезка и через точки деления провели прямые, параллельные основаниям. Два меньших отрезка этих прямых, принадлежащие трапеции, равны 4 см и 7 см. Найдите основания трапеции.

Пусть основания трапеции равны $b$ (меньшее) и $a$ (большее). Боковая сторона разделена на 4 равных отрезка, следовательно, через 3 точки деления проведены прямые, параллельные основаниям. Длины отрезков этих прямых, заключенных внутри трапеции, вместе с длинами оснований образуют арифметическую прогрессию.

Обозначим эту последовательность из 5 членов как $l_1, l_2, l_3, l_4, l_5$, где $l_1 = b$ и $l_5 = a$. Три новых отрезка — это $l_2, l_3, l_4$.

По условию, два меньших из этих новых отрезков равны 4 см и 7 см. Так как отрезки расположены в порядке возрастания длины от меньшего основания к большему, это означает, что $l_2 = 4$ см и $l_3 = 7$ см.

Так как эти члены являются частью арифметической прогрессии, мы можем найти ее разность $d$:
$d = l_3 - l_2 = 7 - 4 = 3$ см.

Теперь, зная разность прогрессии, мы можем найти ее остальные члены, включая основания трапеции.

Меньшее основание $b$ — это первый член прогрессии $l_1$:
$b = l_1 = l_2 - d = 4 - 3 = 1$ см.

Чтобы найти большее основание $a$ (пятый член прогрессии $l_5$), сначала найдем четвертый член $l_4$:
$l_4 = l_3 + d = 7 + 3 = 10$ см.
Теперь найдем $a$ (пятый член):
$a = l_5 = l_4 + d = 10 + 3 = 13$ см.

Таким образом, основания трапеции равны 1 см и 13 см.

Ответ: 1 см и 13 см.