Номер 122, страница 50 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

122. Меньшее основание трапеции равно 6 см. Диагонали трапеции пересекают её среднюю линию в точках $M$ и $N$. Найдите большее основание трапеции, если $MN = 4$ см.

122. Меньшее основание трапеции равно 6 см. Диагонали трапеции пересекают её среднюю линию в точках $M$ и $N$. Найдите большее основание трапеции, если $MN = 4$ см.

Пусть дана трапеция ABCD, где BC – меньшее основание, а AD – большее. По условию задачи $BC = 6$ см. Пусть KL – средняя линия трапеции, где точка K – середина боковой стороны AB, а точка L – середина боковой стороны CD. Диагональ AC пересекает среднюю линию KL в точке M, а диагональ BD пересекает ее в точке N. По условию, длина отрезка $MN = 4$ см.

Рассмотрим треугольник ABC. Отрезок KM является его средней линией, так как точка K – середина стороны AB, а отрезок KM параллелен основанию BC (поскольку вся средняя линия KL параллельна основаниям трапеции). Длина средней линии треугольника равна половине длины основания, которому она параллельна. Следовательно: $KM = \frac{1}{2} BC$ Подставив известное значение $BC = 6$ см, получим: $KM = \frac{1}{2} \cdot 6 = 3$ см.

Теперь рассмотрим треугольник ABD. Аналогично, отрезок KN является его средней линией, так как K – середина AB и KN параллельно AD. Следовательно: $KN = \frac{1}{2} AD$

Точки K, M, N лежат на одной прямой – средней линии трапеции. Так как AD является большим основанием, то $AD > BC$, а значит и $\frac{1}{2}AD > \frac{1}{2}BC$, то есть $KN > KM$. Это означает, что точка M лежит между точками K и N. Длину отрезка MN можно выразить как разность длин отрезков KN и KM: $MN = KN - KM$

Подставим в это равенство известные нам значения и выражения: $4 = \frac{1}{2} AD - 3$

Решим полученное уравнение относительно AD, чтобы найти длину большего основания: $\frac{1}{2} AD = 4 + 3$ $\frac{1}{2} AD = 7$ $AD = 7 \cdot 2$ $AD = 14$ см.

Ответ: 14 см.